ЧОХЛУГЛАР НЯЗЯРИЙЙЯСИ – Мцасир рийазиййатын бир чох бюлмяляринин ясасыны тяшкил едян рийази нязяриййя. Чохлуг вя йа кцллиййат анлайышы ян садя рийази анлайыш олдуьундан она тяриф вермяк олмур, лакин мисаллар цзяриндя изащ етмяк олар. Мяс., китабханадакы бцтцн китаблар чохлуьундан, верилмиш хятт цзяриндяки нюгтяляр чохлуьундан, верилмиш тянлийин щялляри чохлуьундан данышмаг олар. Китабханадакы китаблар, дцз хятт цзяриндяки нюгтяляр, верилмиш тянлийин щялляри уйьун чохлугларын е л е м е н т л я р и адланыр. Чохлуьу тяйин етмяк цчцн елементлярин сяъиййяви хцсусиййятини эюстярмяк кифайятдир, йяни еля хасся ки, йалныз верилмиш чохлуьун бцтцн елементляри бу хассяйя малик олсун; Ола биляр ки, щеч бир елемент верилмиш хассяйя малик олмасын; онда дейирляр ки, бу хасся б о ш ч о х л у ь у тяйин едир. Верилмиш х елементинин М чохлуьуна аид олмасы х∈М кими йазылыр (охунур: х М чохлуьуна дахилдир).
Алт чохлуг. Яэяр А чохлуьунун щяр бир елементи щям дя Б чохлуьунун елементидирся, онда А чохлуьу Б чохлуьунун алт чохлуьу вя йа щиссяси адланыр. Буну А⊂ Б вя йа Б ⊃А кими йазырлар. Беляликля, Б чохлуьунун юзц дя Б чохлуьунун алт чохлуьудур. Тярифя эюря, бош чохлуг щяр щансы чохлуьун алт чохлуьу щесаб едилир. Б чохлуьунун щяр щансы бош олмайан А алт чохлуьу Б-дян фярглидирся, она Б чохлуьунун дцзэцн щиссяси вя йа Б чохлуьунун хцсуси алт чохлуьу дейилир.
Чохлугларын эцъц. Сонсуз чохлугларын тятбигиндя йаранан илк суал онларын юз араларында кямиййятъя мцгайися едилмясинин мцмкцнлцйц иди. Бу вя буна йахын суаллара 19 ясрин 70-ъи илляринин ахырларында Ч.н.-ни рийази елм кими ясасландыран Э. Кантор ъаваб вермишдир. Чохлугларын кямиййятъя мцгайисяляринин гиймятляндирилмясинин мцмкцнлцйц ики чохлуг арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг анлайышына ясасланыр. Тутаг ки, А чохлуьунун щяр бир елементиня щяр щансы бир гайда вя йа ганунла Б чохлуьунун мцяййян елементи гаршы гойулур; яэяр бу щалда Б чохлуьунун щяр бир елементинин А чохлуьунун йалныз вя йалныз бир елементиня уйьун гойулдуьу мялумдурса, онда дейирляр ки, А вя Б чохлуглары арасында гаршылыглы биргиймятли вя йа бир биргиймятли уйьунлуг йарадылмышдыр. Айдындыр ки, ики сонлу чохлуг арасында йалныз вя йалныз о заман гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг йаратмаг олар ки, онлар бярабяр сайда елементлярдян тяшкил олунсун. Бу фактын цмумиляшмяси иля ики сонсуз чохлуьун кямиййят еквивалентлийи вя йа ейниэцълцлцйц, онларын арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг йарадылмасы кими тяйин едилир.
Щяр бир сонсуз М чохлуьунда бцтцн М-ля ейниэцълц олан дцзэцн щисся вар, лакин щеч бир сонлу чохлугда беля дцзэцн щисся тапмаг олмаз.
Ики сонсуз А вя Б чохлуглары цчцн йалныз ашаьыдакы цч щал мцмкцндцр: йа А-да Б иля ейниэцълц олан дцзэцн щисся вар, Б-дя ися А иля ейниэцълц олан дцзэцн щисся йохдур; вя йа тярсиня, Б-дя А иля ейниэцълц олан дцзэцн щисся вар, А-да ися Б иля ейниэцълц олан щисся йохдур; нящайят, А-да Б иля ейниэцълц олан, Б-дя ися А иля ейниэцълц олан дцзэцн щисся вар. Исбат едилир ки, 3-ъц щалда А вя Б чохлуглары ейниэцълцдцр. Биринъи щалда А чохлуьунун эцъц Б чохлуьунун эцъцндян, икинъи щалда Б чохлуьунун эцъц А чохлуьунун эцъцндян бюйцкдцр, дейирляр. Мцмкцн 4-ъц щалда ися А-да Б иля ейниэцълц, Б-дя ися А иля ейниэцълц дцзэцн щиссянин варлыьыны щяйата кечирмяк мцмкцн дейил (сонсуз чохлуглар цчцн).
Чохлуьун эцъц анлайышынын ящямиййяти ейниэцълц олмайан сонсуз чохлугларын варлыьы иля мцяййян олунур. Мяс., верилмиш М чохлуьунун бцтцн алт чохлуглары чохлуьунун эцъц М чохлуьунун эцъцндян бюйцкдцр. Бцтцн натурал ядядляр чохлуьу иля ейниэцълц олан чохлуьа щ е с а б и ч о х л у г дейилир. Щесаби чохлугларын эцъц сонсуз чохлугларын малик олдуьу ян кичик эцъдцр; щяр бир сонсуз чохлуьун щесаби дцзэцн щиссяси вар. Э. Кантор исбат етмишдир ки, бцтцн щягиги ядядляр чохлуьу щесаби олмадыьы щалда, бцтцн расионал ядядляр, щятта бцтцн ъябри ядядляр чохлуьу щесабидир. Бунунла да транссендент ядядин, йяни там ямсаллы щеч бир ъябри тянлийин кюкляри олмайан щягиги ядядлярин варлыьы (вя щятта беля ядядляр чохлуьунун гейри-щесабилийи) бир даща исбат едилмишдир. Бцтцн щягиги ядядляр чохлуьунун эцъц к о н т и н и у м э ц ъ адланыр. Щесаби чохлуьун бцтцн алт чохлуглары чохлуьу, бцтцн комплекс ядядляр чохлуьу вя демяли, мцстявинин бцтцн нюгтяляри чохлуьу, щямчинин цчюлчцлц вя цмумиййятля, н-нин истянилян гиймяти цчцн н-юлчцлц фязанын бцтцн нюгтяляри чохлуьу бцтцн щягиги ядядляр чохлуьу иля ейниэцълц чохлуглардыр. Э. Кантор беля щипотез (континиум щипотези) сюйлямишдир: щягиги ядядлярдян ибарят щяр щансы чохлуг, йа сонлудур, йа щесабидир, йа да бцтцн щягиги ядядляр чохлуьу иля ейниэцълцдцр; бу щипотезля вя онун нятиъяляри иля ялагядар бах Континиум проблеми.
Чохлугларын иникасы. Ч.н.-дя функсийанын аналитик изащы, фигурун иникасынын вя йа прообразынын щяндяси изащы бир чохлуьун диэяр чохлуьа иникасында бирляшир. Тутаг ки, ики Х вя Й чохлуьу верилиб вя щяр бир х∈Х елементиня Й чохлуьунун мцяййян й=ф(х) елементи гаршы гойулуб; онда дейирляр ки, Х чохлуьундан Й чохлуьуна иникас вар вя йа х аргументи Х чохлуьуна, й гиймятляри ися Й чохлуьуна дахил олан функсийа вар; бу щалда щяр бир х∈Х цчцн Й чохльунун й=ф(х) елементи верилмиш иникасын х∈Х елементинин о б р а з ы вяйа верилмиш функсийанын х аргументинин гиймятиня уйьун олан г и й м я т и адланыр.
Ики Х вя Й чохлуглары арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг, Х чохлуьунун Й чохлуьуна еля иникасыдыр ки, Й чохлуьундакы щяр бир елемент Х чохлуьундан олан йалныз вя йалныз бир елементин образыдыр.
Чохлуглар цзяриндя ямялляр. Ики, цч, цмумиййятля, ихтийари сонлу вя сонсуз чохлуглар чохлуьунун ъями вя йа бирляшмяси еля чохлугдур ки, онун елементляриндян щяр бири топланан чохлуглардан ян азы биринин елементляриндян тяшкил олунур. Ики, цч, цмумиййятля, истянилян сонлу вя сонсуз чохлуглар чохлуьунун к я с и ш м я с и еля чохлугдур ки, онун елементляри верилян бцтцн чохлугларын ортаг елементляриндян тяшкил олунур. Щятта ики бош олмайан чохлуьун кясишмяси бош чохлуг ола биляр. Б чохлуьуна дахил олан, А чохлуьунда олмайан елементлярдян тяшкил олунмуш чохлуьа Б вя А чохлугларынын ф я р г и дейилир; Б иля онун А щиссясинин фярги А чохлуьунун Б чохлуьуна т а м а м л а н м а с ы адланыр.
Чохлугларын бирляшмяси вя кясишмяси ямялиййаты груплашдырма вя йердяйишмя шяртлярини юдяйир (бах Ассосиативлик, Коммутативлик). Бундан ялавя кясишмя ямялиййаты топлама вя чыхма ямялляриня нязярян пайланма хассясиня маликдир. Ейни бир М чохлуьунун алт чохлуглары цзяриндя бу ямялиййатлары иъра етсяк, онлар щямин хассяляря малик олар, щям дя алынан нятиъя М чохлуьунун алт чохлуьу олар. Чохлугларын дцз щасили ися эюстярилян хассяляря малик дейил. [Х вя Й чохлугларынын д ц з щ а с и л и бцтцн мцмкцн (х,й) ъцтляриндян ибарят олан Х×Й чохлуьудур, бурада х∈Х, й∈Й ]. Бу мянада диэяр ямялиййат ЙХ “гцввятя йцксялтмя” ямялидир (Х чохлуьунун Й чохлуьуна олан бцтцн иникаслары чохлуьу). Яэяр ξ вя η Х вя Й чохлугларынын эцъцдцрся, онда ξ∙η вя ηξ Х×Й вя Й Х чохлугларынын эцъц кими тяйин олунур. Сонлу чохлуглар щалында бу, натурал ядядлярин вурулмасы вя гцввятя йцксялдилмясиня уйьундур. Аналожи олараг чохлугларын эцъц ъцт-ъцт кясишмяйян чохлугларын эцъляринин ъями кими тяйин олунур.
Низамланмыш чохлуглар. Верилян Х чохлуьунда низам йаратмаг – бу чохлуьун х′, х″ елементляр ъцтц цчцн “х′ елементи х″ елементиндян яввял эялир” вя йа “х′ елементи х′′ елементиндян ирялидя эялир” сюзляри иля ифадя олунан щяр щансы ардыъыллыг гайдасы гоймаг демякдир. Чохлугда щяр щансы ардыъыллыг йарадылыбса, она “гисмян низамланмыш чохлуг” дейилир; бязян “гисмян низамланмыш чохлуг” явязиня “низамланмыш чохлуг” ишлянир (Н.Бурбаки). Ашаьыдакы ялавя тялябляри юдяйян гисмян низамланмыш чохлуьа низамланмыш чохлуг дейилир: 1) щеч бир елемент юз-юзцндян яввял эялмир; 2) ики мцхтялиф х, х′ елементляриндян бири диэяриндян яввял эялир, йяни йа х< х′ вя йа х′ < х.
Яэяр ики низамланмыш чохлуг арасында ардыъыллыьы сахламагла гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг гурмаг мцмкцндцрся, онда онлар охшар вя йа ейни ардыъыллыьа малик чохлуглар адланыр.
Нюгтяви чохлуглар. Нюгтяви чохлуглар нязяриййяси, йяни сюзцн илк анламында елементляри щягиги ядядляр (ядяд охунун нюгтяляри), щямчинин ики-, цч- вя цмумиййятля, н-юлчцлц фязанын нюгтяляри олан чохлуглар нязяриййяси. Чохлуьун лимит нюгтяси анлайышыны верян вя она гапалы чохлуг вя диэяр анлайышлары ялавя едян Э.Кантор тяряфиндян ясасландырылмышдыр. Нюгтяви чохлуглар нязяриййясинин сонракы инкишафы цмуми тополоэийада юйрянилян метрик фяза вя тоположи фяза анлайышларына эятириб чыхарды.
Чохлуглар нязяриййясинин ящямиййяти. Мцасир рийазиййатын инкишафында Ч.н.-нин тясири чох бюйцкдцр. Щяр шейдян яввял Ч.н. бир сыра йени рийази фянлярин (щягиги дяйишянли функсийалар нязяриййясинин, цмуми тополоэийанын, функсионал анализин вя с.) фундаменти олмушдур.
Рийазиййатын классик бюлмяляриндя чохлуглара аид нязяри методлар эетдикъя даща чох юз тятбиглярини тапыр. Мяс., рийази анализдя, йцксяк диференсиал тянликляр нязяриййясиндя, вариасийа щесабында, ещтимал нязяриййясиндя эениш тятбиг олунур.
Ч.н., рийазиййатын предметинин вя онун щяндяся кими бюйцк бюлмясинин анлашылмасына ъидди тясир эюстярмишдир.
