ЧОХЮЛЧЦЛЦ ЩЯНДЯСЯ – юлчцсц цчдян бюйцк олан фязаларын щяндясяси. “Ч.щ.” термини яввялъя цчюлчцлц фяза щалы цчцн инкишаф етдирилмиш вя йалныз сонрадан н>3 юлчцлц фязалар, йяни илк нювбядя Евклид фязасы, о ъцмлядян Лобачевски, Риман, пройектив, афин фязалары цчцн цмумиляшдирилмишдир (цмуми Риман фязасы вя с. фязалар бирбаша н юлчцляр цчцн тяйин едилмишдир). Цчюлчцлц вя чохюлчцлц щяндяся бюлэцсц тарихи вя тядрис ящямиййятиня маликдир, беля ки, истянилян сайда юлчцляр цчцн мясяляляр дярк едилян олдуьу заман гойулур вя щялл едилир. Беля олдугда цчюлчцлц щяндясянин билаваситя ясасландырылмасындан, онун бу вя йа диэяр аксиомлар системиндян вя йа ясас нятиъяляри цчюлчцлц координат щалындан истянилян н-юлчцлц щала кечирмякля, аналитик щяндясянин цмумиляшмясиндян чыхыш етмяк олар. н-юлчцлц Евклид фязасынын гурулмасына беля башланылмышдыр. Щазырда вектор фяза анлайышындан чыхыш етмяйя цстцнлцк верирляр.

Юлчцсц 3-дян бюйцк олан фязаларын тясяввцрц тядриъян йаранмаьа башламышдыр; яввялляр (щяля 3 ясрдя Диофант вя сонралар бир сыра орта яср мцяллифляринин) щяндяси тясяввцрцн ясасында: а² – “квадрат”, а³ – “куб” дяряъяляри дурурду, лакин а⁴ вя с. фязалары артыг яйани тясвир етмяк мцмкцн дейилди, а⁴-я “биквадрат”, а⁵-я “кубоквадрат” дейирдиляр вя с. Чохюлчцлц фяза щаггында фикирляри И.Кант ифадя етмиш (1746), 4-ъц координат гисминдя заманын фязайа гошулмасыны ися Ж. Даламбер йазмышдыр (1764). Евклид Ч.щ.-синин гурулмасы ися А. Кели (1843), Э. Грассман (1844) вя Л. Шлефли (1852) тяряфиндян щяйата кечирилмишдир. Беляликля, бу цмумиляшмялярин физики фяза иля бирляшмясиндяки илкин шцбщя вя мцяммалар арадан галдырылмыш вя н-юлчцлц фяза сямяряли формал-рийази анлайыш кими тез бир заманда бцтювлцкдя рийазиййатда мющкямлянмишдир.

Ихтийари н≥3 юлчцлц Евклид фязасына (сонсуз юлчцлц щал да дахил олмагла) ян садя беля тяриф вермяк олар: орада дцз хятляр вя мцстявиляр кими алт чохлуглар айырмаг мцмкцндцр, дахилолма, низамлыг вя конгруйентлик мцнасибятляри вар вя ашаьыдакы аксиомдан башга бцтцн ади аксиомлар юдянир: бир ортаг нюгтяси олан ики мцстявинин ян азы бир дяня дя беля нюгтяси вар. Яэяр бу юдянирся, онда фяза цчюлчцлцдцр, юдянмирся, йяни ики мцстявинин йалныз бир ортаг нюгтяси варса, онда фяза ян азы дюрдюлчцлцдцр.

М ц с т я в и анлайышы ашаьыдакы кими цмумиляшдирилир: мцстяви еля нюгтяляр чохлуьудур ки, юзцнцн истянилян ики нюгтяси иля бирликдя бу нюгтялярдян кечян дцз хятти сахлайыр. Бу мянада бцтцн фяза да мцс- тявидир. Верилмиш М нюгтяляр чохлуьуну сахлайан бцтцн мцстявилярин кясишмяси М-ин “юртцк” мцстявиси (М-ин афин юртцйц) адланыр. Яэяр мцстяви м+1 сайда нюгтя иля юртцлцрся, бундан аз сайда нюгтя иля юртцлмцрся, онда она м-юлчцлц вя йа гысаъа м-мцстяви дейилир. Нюгтя сыфыр юлчцлц, дцз хятт бирюлчцлц мцстявидир, ади мцстяви икиюлчцлцдцр, цчюлчцлц фяза цчюлчцлц мцстявидир. Яэяр фяза н-мцстявидирся, она н-юлчцлц фяза дейилир. Йяни н ≥ 3 олдугда истянилян н-юлчцлц Е_н Евклид фязасына тяриф вермяк цчцн ашаьыдакы аксиому ялавя етмяк кифайятдир; фяза н-мцстявидир. Орада 0<м≤н–1 олан м-мцстяви вар. м≥2 олан щяр бир м-мцстяви м-юлчцлц Евклид фязасыдыр (Е_м). Дюрд нюгтя щямишя 3-мцстявидя йерляшдийиндян, истянилян ики дцз хятт дя 3-мцстяви цзяриндя, йяни Е₃-дя йерляшяр.

Е_н-дя щяр щансы бир нюгтядян н вя н-дян чох олмайан сайда гаршылыглы перпендикулйар дцз хятт кечирмяк вя уйьун х₁, х₂, ... , х_н координатларыны дахил етмяк олар; орада истянилян ХЙ парчасынын узунлуьу

                             
дцстуру иля ифадя олунур. (*) дцстуруну Е_н-нин координат тяйининин ясасы кими гябул етмяк олар. Е_н мящз еля чохлугдур ки, орада х₁, х₂, …, х_н координатлары дахил едилир вя щяр бир Х(х₁,…, х_н), Й(й₁,…, й_н) ъцтцня (*) дцстуру васитясиля бир ядяд (“мясафя”) гаршы гойулур: беляликля, щяндясяйя йалныз вя йалныз еля тяриф вя щюкмляр дахилдир ки, онлары мясафя васитясиля ифадя етмяк мцмкцн олур.

Е_н-дя вектор щесабы (щяндяси вя йа координат тярифиня ясасланараг) Е₃-дяки кими гурулур; фярг йалныз ондадыр ки, Е_н-дя вектор н топланандан ибарятдир
(уйьун олараг н вектор асылы олмайан да ола биляр). Мяс., скалйар щасил

                                                                 (а, б)=|а|·|б|ъос α = ∑а_иб_и
олар.

Йалныз векториал щасили н>3 щалында тяйин етмяк олмур, беля ки, 2-мцстяви мцхтялиф истигамятлярдя перпендикулйарлара маликдир [онлар бир нюгтядян кечдикдя (н–2)-мцстявини долдурур]. Вектор щасил явязиня бивектор анлайышындан истифадя олунур.

Щ я н д я с и  й а н а ш м а  планиметрийа вя стереометрийаны Е_н-я, йяни щяндясяни 2- вя 3-мцстявиляря бирбаша кечирмяйя вя сонра Е₃-цн стереометрийасыны ади гайдада цмумиляшдирян Е_н-нин юз стереометрийасыны гурмаьа имкан верир. Мяс., м-мцстявидя м дцз хяття перпендикулйар олан дцз хятт, бу мцстявидя олан истянилян дцз хяття перпендикулйардыр. Е_н цчцн бир чох тяриф вя исбатлар н индуксийасы цзря верилир. Мяс., н-юлчцлц чохцзлц (вя йа н-чохцзлц) сярщяди сонлу сайда (н–1)-чохцзлцдян ибарят олан ъисимдир. Ян садя чохцзлцляр: призма – (н–1)-чохцзлцнцн бцтцн нюгтяляриндян кечян паралел вя бярабяр парчаларла, пирамида – (н–1)-чохцзлцсцнцн бцтцн нюгтяляринин бириндян кечян парчаларла долдурулур. Онлардан ян садяляри: н-куб – сярщяди (н–1)-куб олан дцз призмадыр (2-кублар–квадратлар). Щяъм Е₃-дяки кими тяйин олунур, мцвафиг олараг Е_н-дя н щяъм олур: 1-щяъм – узунлуг, 2-щяъм – сащя вя с. Призманын В=Сщ н-щяъми вар, пирамиданын щяъми

                                                        
бурада С – отураъаьын (н–1)-щяъми, щ –щцндцрлцкдцр. Е_н щяндясясини эениш вя инкишаф етдирилмиш шякилдя габарыг ъисимляр нязяриййяси юйрянир.

Ч.щ.-дя цч ъцр факты айырмаг олар: 1) Е₃-дя олан фактларын бирбаша цмумиляшмяси олан фактлар; 2) мцхтялиф м ≤ н юлчцляриня уйьун олан аналожи фактлар. Мяс., симметрийа мяркязи олан габарыг ъисим истянилян верилмиш м ≥1 вя м<н цчцн юз м-юлчцлц пройексийаларынын м-щяъмляри иля биргиймятли тяйин олунур; 3) мцхтялиф Е_н-лярдя мцщцм фярглярин мцшащидя едилдийи фактлар (мяс., Е₃-дя дцзэцн чохбуъаглыларын сайы-беш, Е₄-дя йедди, Е_н-дя ися н≥5 олдугда цчдцр).

Λ_н – Лобачевски вя А_н – фязалары да Е_н-я аналожи олараг тяйин олунур. Λ_н-дя паралеллик аксиомуну якс аксиомла явяз етмякля Е_н-дяки бцтцн аксиомлар юдянилир, А_н-дя ися конгруйентлик анлайышынын юзц истисна олмагла конгруйентлик аксиомуну чыхмаг шяртиля Ен-дяки бцтцн аксиомлар юдянилир. Аналожи олараг груплашдырма аксиомларынын дяйишмяси иля н-юлчцлц пройектив П_н фязасыны тяйин етмяк олар. Бцтцн бу фязаларын башга ъцр тяйини ондан ибарятдир ки, онлара координатлар дахил едилир, онларын чевирмяляр групу верилир, йалныз вя йалныз бу група нязярян инвариант олан мцнасибятляр щяндяси щесаб едилир. E_n щалында бу, охшарлыг групудур (ортогонал чевирмяляр, кючцрмяляр вя бцтцн координатларын а≠0 ядядиня вурулмасынын груплашдырылмасы); А_н цчцн бу, бцтцн хятти (гейри-биръинс) чевирмяляр групудур.