Несмотря на то, что математическая наука в Азербайджане имеет древнюю и богатую историю, её истинное развитие связано с именем выдающегося ученого 13 в. Насирэддина Туси. Он написал более 30 трактатов, посвященных различным разделам математики (алгебра, геометрия, тригонометрия, теория чисел), из которых отметим следующие: “Изложение Евклида”, “Сборник по арифметике с помощью доски и пыли”, “Книга об умножении и делении”, “Трактат об арифметике и алгебре”, “Квадратура круга”, “Трактат о полном четырёхстороннике”, “Книга о фигуре секущих”, “Трактат о том, что сумма двух нечетных квадратов не может быть квадратным числом”, “Трактат, исцеляющий сомнение по поводу параллельных линий”.

 Насирэддин Туси дал различные дополнения и новые толкования трактатам древнегреческих ученых Евклида, Архимеда, Теодоса, Менелая и др. Он впервые доказал эквивалентность равенства суммы внутренних углов треугольника 180° и 5-го постулата Евклида. В трактате “О полном четырехстороннике” он дал описание сферических треугольников. Его определение вещественного числа было принято математиками всего мира до конца 19 в.. В трактате “Арифметика с помощью пыльной доски” Насирэддин Туси впервые дал алгоритм вычисления корня любого порядка данного числа и коэффициентов бинома.

 Замена 5-го постулата Евклида другим постулатом в трактате Насирэддина Туси “Толкование Евклида” дало толчок созданию в 19 в. Риманом и Лобачевским новой геометрии. В этом трактате он, впервые в истории математики, привёл аксиомы, которые теперь называют “аксиомой существования” и “аксиомой выбора”. Издание его трактатов на разных языка, начиная с 16 в. оказало большое влияние на развитие математики в Европе, на исследования А.М. Лежандра, Дж.Валлиса, Дж.Саккери и др. Благодаря трудам Насирэддина Туси плоскостная и сферическая тригонометрия стали самостоятельными математическими дисциплинами. Известны труды азербайджанских ученых: Абдуллаха Тебризи, Шах Фатуллаха Ширвани, Сеид Яхья Бакуви, Бадрэддин Амир Сеида Лалави, Гиясэддина Ширвани в 14–16 вв. и Насруллаха Халхали в 17 в. по математике, астрономии и логике. После Насирэддина Туси развитие математической науки было связано с именами Мухаммед ибн Хасан Ширвани, Мухаммед Рагим Бадкуби, Мухаммед Бакир Тебризи, Али Мухаммед Бадкуби. Трактат “Рисалейи хуруф ве хутут” Шукруллах Магеррамзаде Карабаги, который был написан на азербайджанском языке, сыграл большую роль в развитии математической науки. В этом труде автор дал определение и название чисел и фигур, их свойства, вычисление площадей и объемов фигур. Первую книгу по арифметике на азербайджанском языке в 1884 г. написал Л.Ахундов. Здесь он изложил основы арифметики и теории чисел. Написали книги по арифметике Агали Гасымов в 1904 г. “Элми хесаб” (Тифлис), Ислам бек Габулов в 1910 г. “Рахбари хесаб”. Самую совершенную книгу своего времени “Вычислительные задачи” опубликовал выдающийся композитор Узеир бек Гаджибеков в 1907 г.

 Мухаммед бек Эфендиев, который окончил в 1913 г. математический факультет С.–Петербургского университета, долгое время преподавал в Азербайджанском государственном университете (АГУ), (ныне БГУ), и очень много сделал для воспитания национальных кадров по математике.

В первые десятилетия 20 в., наряду с проведением научных исследований, остро стоял вопрос о воспитании высококвалифицированных национальных кадров. С учреждением в 1935 г. Азербайджанского филиала Академии Наук СССР усилились связи вузов республики с другими научными и учебными центрами, появилась целая плеяда выдающихся учёных – академики З.И.Халилов, И.И.Ибрагимов, А.И.Гусейнов, чл.-корр. АН Азербайджана М.А.Джавадов и др. В 1935 г. был создан Азербайджанский филиал АН СССР, и это сыграло большую роль в дальнейшем развитии науки в Азербайджане и в воспитании молодых талантливых национальных кадров.

 Создание в 1945 г. АН Азербайджана дало толчок развитию математики. Затем были созданы Институт математики и механики (1959), Институт кибернетики (1965), Вычислительный центр (1960). Во всех этих институтах велись первоклассные научные работы и решались задачи, имеющие практическое значение.

 Начиная с середины 20 в., в Азербайджане велись научные исследования по функциональному анализу, математическому анализу, дифференциальным и интегральным уравнениям, теории функций, алгебре и топологии, вычислительной математике, математической логике, математической кибернетике и теории вероятностей.

 Создание школы функционального анализа и ее развитие в Азербайджане связано с именем академика З.И.Халилова. Он впервые создал и развил в нормированных кольцах абстрактную теорию сингулярных операторных уравнений. З.И.Халилов впервые в Советском Союзе опубликовал монографию по функциональному анализу – “Основы функционального анализа” (Баку, 1949, на русском языке). Он с успехом применял методы функционального анализа к краевым задачам оптимального управления. Дальнейшее развитие функционального анализа связано с именами академиков Дж.Э.Аллахвердиева, М.Г. Гасымова и Ф.Г.Магсудова. Результаты, полученные Дж.Э.Аллахвердиевым по аппроксимативным свойствам сингулярных чисел вполне непрерывных операторов и о резольвенте нормальных операторов, заняли достойное место в мировой математической науке. Сейчас в математике имеются общепринятые теоремы и леммы Аллахвердиева, вариационный принцип Аллахвердиева. Под его руководством получены важные результаты по задачам оптимального управления, оптимизации, стохастического анализа и по теории вероятности. В 1972 г. Дж.Э.Аллахвердиев получил Государственную премию Азербайджана за работу “Теория несамосопряженных операторов”. Академик Ф.Г.Магсудов дал спектральную теорию широкого класса операторных пучков, новый критерий об отсутствии положительных собственных чисел оператора Шредингера с убывающим потенциалом.

Монография А.И. Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова “Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений”, Москва, “Наука”, 1980.

 Академик М.Г.Гасымов полностью решил обратную задачу по определению по двум спектрам регулярного оператора Штурма-Лиувилля, дал эффективный метод восстановления потенциала, в сингулярном случае дал критерий, когда две перемежающиеся числовые последовательности являются собственными числами одного и того же оператора. Он решил обратную задачу спектральной теории для систем дифференциальных уравнений типа Дирака, также полностью решил задачу о разложении по решениям теории рассеяния для несамосопряженной многомерной задачи Шредингера с экспоненциально убывающим потенциалом.

Данные им методы теперь в математической литературе носят его имя. М.Г.Гасымов построил спектральную теорию для дифференциальных операторов с периодическим потенциалом. Такой потенциал в литературе теперь называют потенциалом Гасымова. М.Г.Гасымов доказал кратную полноту собственных и присоединенных операторных пучков Келдыша, дал их факторизацию. Он показал корректность задачи Коши для дифференциальных уравнений без типа.

 В Азербайджане продолжаются исследования по спектральной теории операторных пучков с дискретным и непрерывным спектром, изучены прямые и обратные задачи спектрального анализа и теории рассеяния для различных уравнений математической физики. Также изучены вопросы полноты, базисности, минимальности системы функций в различных пространствах и доказаны теоремы разложения по собственным и присоединенным функциям.

Был получен ряд важных результатов по инвариантным подпространствам. Показано, что в бесконечномерных банаховых пространствах произвольная полугруппа вольтерровых операторов составляет нетривиальное инвариантное подпространство.

Монография И.И. Ибрагимова “Методы Интерполяции функций и некоторые их пременения”, Москва, 1971.

 Чл.-корр. HAH Азербайджана Р.В.Гусейнов ввел в линейных пространствах с гауссовской мерой преобразование Фурье-Винера, и с его помощью решил уравнения первого порядка с вариационной производной. Он в анизотропных пространствах Соболева получил неравенства типа Харди и Пуанкаре. Применив эти неравенства Р.В.Гусейнов дал достаточное условие для конечности отрицательного спектра квазиэллиптических операторов, в частных случаях нашел точное число его точек. Им также доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделефа, типа Лиувилля и о гельдерство рещений квазиэллиптических краевых задач.

 Чл.-корр. HAH Азербайджана А.Г. Гаджиевым разработана теория управления системами массового обслуживания с движущимися объектами и один из фрагментов этой теории носит парадоксальный характер. Им создан новый универсальный метод для статического анализа данных, подчиненных регрессионной зависимости. Метод позволяет устранить трудности, возникающие при исследовании моделей с растущим числом неизвестных параметров и неизвестными и разными дисперсиями ошибок наблюдений, и решать широ кий круг прикладных задач.

 Создание школы по сингулярным интегральным операторам и интегральным уравнениям в Азербайджане связано с именем акад. А.И.Гусейнова. Им было построено в банаховом пространстве инвариантное подпространство у сингулярного интегрального оператора по открытому контуру с ядром Коши.

 Развивая идеи работ А.И.Гусейнова, чл.-корр. НАН Азербайджана А.А.Бабаев в пространствах Гусейнова ввел метрическую характеристику функций и негладких кривых и дал универсальный метод для изучения структурных характеристик сингулярных интегральных операторов. Он ввел также понятие дискретные сингулярные интегральные операторы, применил их к построению приближенных решений линейных и нелинейных сингулярных интегральных операторов, дал критерий для справедливости теорем Привалова для сингулярных интегральных операторов по спрямляемым Жордановым кривым. Доказал теорему о справедливости формулы Сохоцского-Племеля для пространственного аналога интеграла типа Коши, решил пространственный случай задачи Римана.

Монография М.Л. Расулова “Методы Контурного интеграла”, Амстердам, 1967.

 Создателем в Азербайджане школы по теории функций является акад. И.И.Ибрагимов. Он построил новые интерполяционные процессы, дал критерий их сходимости и решил проблему о двух точках. Представителями этой школы была изучена задача о приближении функций многих переменных функциями меньшего числа переменных, построен точный аннулятор. Для дифференцируемых функций многих переменных даны новые интегральные представления в пространствах с весом, в этих пространствах доказаны теоремы вложения и теоремы о следах.

 Представителем школы теории функций является акад. А.Д. Гаджиев. Он построил на сфере обобщение пространств Никольского-Бесова и доказал для них теоремы вложения. А.Д.Гаджиев создал гладкостную теорию символов многомерных сингулярных интегралов и изучил их применение в теории мультипликаторов Фурье. Он, с помощью индикаторной диаграммы целых функций многих переменных, доказал оценки типа Бернштейна и Никольского. Учениками А.Д.Гаджиева в однородных группах типа Фолланда-Штейна были доказаны прямые и обратные теоремы вложения пространств банаховозначных гладких функций. В пространствах Мори изучены свойства сингулярных интегралов, потенциалов и максимальные функции, даны их приложения.

 Исследования чл.-корр. НАН Азербайджана М.А.Джавадова были посвящены проблемам геометрии и методике преподавания математики. Он получил важные результаты по представлению финслеровской метрики и ее различным приложениям в геометриях, построенных на алгебрах, были получены важные результаты в спин-описании группы движения вещественных геометрий. М.А.Джавадов построил аффинное, проективное и неевклидовое пространства над полупростых алгебрах, в частности, над альтернионами и над алгеброй квадратных матриц, дал их различные приложения.

 Дифференциальные уравнения в республике являются традиционно развиваемым направлением математики. Акад. М.Л.Расулов является одним из создателей школы по дифференциальным уравнениям. Он дал два новых метода для решения дифференциальных уравнений – метод контурного интеграла и вычетный метод. Эти результаты были опубликованы в монографиях “Метод контурного интеграла” 1964., Москва) и “Применение метод контурного интеграла” (1975., Москва). Эти монографии затем были переведены на английский язык и изданы (1967, 1970, 1975 гг., в Амстердаме, 1967 г. в Нью-Йорке). Акад. М.Л.Расулов одним из первых доказал кратную полноту систем функций по вычетам решений спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методом контурного интеграла он решил задачу Коши для систем параболических уравнений, смешанные задачи, краевые условия которых содержат производные высокого порядка по времени и условия типа Заремба. М.Л.Расулов дал эффективное решение задачи Коши для системы уравнений движения вязко-упругой среды и системы эластичности. Методом вычетов изучил корректность решения одномерной смешанной задачи и дал разложение по вычетам решений смешанных задач для нетиповых уравнений.

 Продолжатель школы М.Л.Расулова чл.-корр. НАН Азербайджана Ю.А.Мамедов ввел определения регулярность, почти регулярность и нормальность для рационального пучка обыкновенных дифференциальных операторов и доказал кратную полноту систем собственных и присоединенных функций таких операторов. Получил необходимое и достаточное условие корректности одномерной смешанной задачи, выраженные коэффициентами уравнения. Ю.Мамедов дал критерий почти регулярности любого порядка спектральной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, выраженного его коэффициентами. Он также получил асимптотику собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля с комплекснозначной плотностью.

 Чл.-корр. НАН Азербайджана К.Т.Ахмедов получил существенные результаты по разрешимости нелинейных уравнений, ветвлению их решений и решений уравнений с отклоняющимся аргументом. Полученные им достаточные условия для аналитического или алгебраического продолжения решений, дали возможность решать ряд задач, имеющих практическое значение. К.Т.Ахмедов получил необходимые условия для оптимальности и по существованию оптимального управления.

 В дальнейшем развитии теории дифференциальных уравнений в республике важную роль сыграли чл.-корр. HAH Азербайджана Б.А.Искендеров и чл.-корр. HAH Азербайджана И.Т.Мамедов.

 Б.А.Искендеров дал достаточное условие для убывания решения задачи Коши для корректных по Петровскому уравнений. Этот результат является аналогом принципа Гюйгенса для гиперболических уравнений. Он также обосновал принципы излучения в неограниченной цилиндрической области для эллиптических уравнений, как второго, так и высокого порядка. При обосновании принципа предельной амплитуды выявлен новый эффект – резонансное явление. Были получены важные результаты по разрешимости и качественным свойствам решений смешанных задач для уравнений типа Соболева в ограниченных и неограниченных цилиндрических областях.

 Чл.-корр. HAH Азербайджана И.Т. Мамедов изучил качественные свойства решений широкого класса линейных и квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами. Он дал необходимое и достаточное условие регулярности этих задач в термине емкости и получил точную оценку модуля непрерывности решения краевых задач в регулярных точках границы. И.Мамедов получил априорную оценку гельдеровой нормы внутри области решений квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа недивергентной формы с разрывными коэффициентами. Для решений этих задач были доказаны теоремы об устранимых особенностях, аналоги теорем типа Лиувилля и Фрагмент-Линелефа о стабилизации.

 Дальнейшее развитие нелинейного анализа, вычислительной математики в республике связано с именем чл.-корр. HAH Азербайджана Я.Дж.Мамедова. Он получил важные результаты в теории абстрактных нелинейных операторных уравнений типа Вольтера, дал метод для приближенного решения этого класса уравнений. За результаты, полученные в этой области, он в 1976 г. был удостоен Государственной премии Азербайджана.

 Чл.-корр. HAH Азербайджана М.Г. Джавадовым впервые доказана полнота части собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов.

 В Азербайджане в области универсальной алгебры дано синтактическое описание многообразия полугрупп, нераспадающихся  на пересечение (проблема Эванса), в аксиоматизированных классах алгебраических систем для трех видов нестандартных поддекартовых представлений, получен аналог классической теоремы Биргкофа, решена проблема Кнобля о моноунарной примальности конечных группоидов.

 С помощью теории доказательств в бизамкнутых и симметрических, моноидально замкнутых категориях даны алгоритмы для равенства канонических морфизмов, для декартовозамкнутых и бизамкнутых категорий, доказаны теоремы о когерентности в смысле Маклейна, теоремы типа Колмогорова-Гельфанда о характеризации топологических пространств и упорядоченных множеств алгебр морфизмов.

 В республике по математике и механике издаются “Известия” НАН Азербайджана, “Труды” Института математики и механики, “Доклады” НАН Азербайджана, “Вестник” Бакинского государственного университета, “Сборник” статей по различным областям математики и механики. Каждый год в Институте математики и механики НАН Азербайджана и Бакинском государственном университете проводятся конференции международного и республиканского значения.

 Лит.: Ма к с у д о в Ф.Г. Насирэддин Туси. Б., 1981; Матвеевская Г.П., Розенфельд Б.А., Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды. М., 1983, т. 2; Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П., Теория параллельных линий на средневековом Востоке 9–14 вв. М.,1983; Максудов Ф.Г., ИММ АН Азербайджана (1959–99), Б., 1999; Maksudov F.Q., Abdullazadə F.H. Riyaziyyat və riyaziyyatcılar. B., 1983.

Бала Искендеров, Билал Билалов, Низамеддин Искендеров, Али Бабаев