HALQALAR NƏZƏRİYYƏSİ – cәbrin halqaları öyrәnәn bölmәsi; yәni elementlәri üçün toplama vә vurma әmәllәri (müvafiq olaraq, + vә · kimi işarә olunur, · işarәsi adәtәn buraxılır) tәyin edilәn vә istәnilәn a, b, c R üçün aşağıdakı aksiomlar ödәnilәn R boş olmayan çoxluqları öyrәnir: a + b = b + a (toplamanın kommu tativliyi); a + (b + c) = (a + b) + c (toplamanın assosi ativliyi); a + x = b-nin tәnliyinin hәlli x = b – a R kimidir (toplamanın dönәnliyi, yәni çıxmanın mümkünlüyü); a (b + c) = ab + ac vә (b + c)a = ba + ca (vurmanın toplamaya nәzәrәn distributivliyi). Halqanın elementlәri toplamaya nәzәrәn Abel qrupu tәşkil edir (bax Qruplar nәzәriyyәsi) vә halqanın additiv qrupu adlanır. Bu qrupun sıfrı (0) vurmaya nәzәrәn “uducu” element adlanır, yәni halqanın ixtiyari a elementi üçün a·0=0·a=0. Ümumiyyәtlә halqa, sıfırın bölәnlәrini, yәni hasillәri 0 olan sıfırdan fәrqli iki a vә b elementlәrini saxlaya bilәr. R halqasının vahidi elә 1 elementidir ki, istәnilәn a R üçün a·1=1·a. Halqada vahidin olması vacib deyil, amma vahid varsa, onda yeganәdir. Halqaya aid misallar. 1. Bütün tam әdәdlәr çoxluğu. 2. Bütün cüt әdәdlәr, ümumiyyәtlә, verilmiş m әdәdinin misillәri olan tam әdәdlәr çoxluğu. 3. Bütün rasional әdәdlәr çoxluğu. 4. Bütün hәqiqi әdәdlәr çoxluğu. 5. Bütün kompleks әdәdlәr çoxluğu. 6. Bütün Qauss әdәdlәri çoxluğu, yәni a + ib kompleks әdәdlәri (a vә b tam әdәdlәrdir). 7. Rasional, hәqiqi vә ya kompleks әmsallı bir vә ya bir neçә dәyişәndәn asılı bütün çoxhәdlilәr çoxluğu. 8. Ədәd oxunun verilmiş parçasında kәsilmәz olan bütün funksiyalar çoxluğu. 9. Hәqiqi elementli n tәrtibli bütün kvadrat matrislәr çoxluğu. 10. Bütün kvaternionlar çoxluğu. 11. Bütün Keli әdәdlәri çoxluğu. 12. Matrislәrin toplanmasına vә a◦b=(ab+ba)/2 Yordan hasilinә nәzәrәn hәqiqi elementli n tәrtibli bütün simmetrik matrislәr çoxluğu. 13. Adi toplama vә vektorial vurmaya nәzәrәn 3-ölçülü fәzanın bütün vektorlar çoxluğu. Bir çox hallarda halqada vurmaya әlavә mәhdudiyyәtlәr qoyulur. Mәs., әgәr a(bc)=(ab)c olarsa, onda halqa assosiativ halqa adlanır (1–10 misalları); әgәr halqada (aa)b=a(ab), (ab)b=a(bb) bәrabәrliklәri ödәnәrsә, onda alternativ halqa adlanır (1-ci misal); әgәr halqada ab = ba vә (ab)(aa) = (aa)ba bәrabәrliklәri ödә nәrsә, onda o, Yordan halqası adlanır (12-ci misal); әgәr hal qada a2 = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 bәrabәrliklәri ödәnәrsә, onda o, Li halqası (13-cü misal) adlanır; әgәr ab = ba ödәnәrsә, onda halqa kommutativ halqa adlanır (1–8-ci, 12-ci misallar). Vahidi olan vә sıfırın bölәnlәrini saxlamayan assosiativkom mutativ halqaya tamlıq oblastı deyilir (1–7-ci misallar). A ≠ 0 olduqda ax = b vә xa = b tәnliklәrinin hәll oluna bildiyi assosiativ halqaya cisim deyilir (3–5-ci, 10- cu misallar); cismin vahidi var vә o sıfrın bölәnlәrini saxlamır. Kommutativ cismә meydan deyilir. Cismin (meydanın) sıfırdan fәrqli bütün elementlәriни çoxluğu vurmaya nәzәrәn cismin (meydanın) multiplikativ qrupu adlanan qrup (Abel qrupu) tәşkil edir. 7 vә 9 misallarındakı halqalara analoji olaraq tәyin olunan ixtiyari meydan üzәrindә çoxhәdlilәr halqası vә cisimlәr üzәrindә matrislәr halqası cәbrin bir çox sahәlәri üçün әhәmiyyәtlidir. Halqaların bir çoxu cәbrdәn kәnarda da tәtbiq olunur. Onlardan әn әhәmiyyәtlilәri funksional analizdә istifadә olunan funksiyalar halqası vә operatorlar halqasıdır. Tutaq ki, F – vahidi 1 olan istәnilәn assosiativ halqadır. Əgәr F-dәn olan ixtiyari elementin A-dan olan ixtiyari elementә hasili (A-da yerlәşәn) elә tәyin olunubsa ki, bütün α, β F a, b A üçün (α + β)a = αa + βa, α(a + b) = αa + αb, α(βa) = (αβ)a, 1a = a, α(ab) = (αa)b. münasibәtlәri ödәnsin, onda A halqası (assosiativ olması zәruri deyil) F üzәrindә cәbr vә ya F-nin operatorlarından ibarәt operatorlar halqası adlanır. Əgәr F kommutativdirsә, onda axırıncı şәrti daha güclü şәrtlә әvәz edirlәr: α(ab) = (αa)b = a(αb). Əgәr na hasili a elementinin a + a +...+ a n dәfә cәmi kimi başa düşülürsә, istәnilәn halqanı tam әdәdlәr halqası üzәrindә cәbr hesab etmәk olar. Ona görә halqaya cәbrin xüsusi halı kimi baxmaq olar. Əgәr A meydan üzәrindә cәbrdirsә (hәmçinin, xәtti cәbr adlanır), onda, A bu meydan üzәrindә vektor fәzasıdır vә demәli, bazisi var. Bu, bazisә görә meydan üzәrin dә cәbr qurmağa imkan verir, bunun üçün bazis elementlәrinin vurma cәdvәlini vermәk kifayәtdir. Meydan üzәrindәki cәbr o vaxt sonlu-ölçülü olar ki, o, vektor fәzalar kimi sonlu-ölçülü olsun. Bu vektor fәzanın ölçüsünә hәm dә cәbrin ranqı deyilir. H.n.-ndә homomorfizm vә izomorfizm anlayışları mühüm rol oynayır. Bir çox mülahizәlәr vә tәsvirlәr “izomorfizm dәqiqliyi ilә” aparılır, yәni izomorf halqalar vә cәbrlәr fәrqlәnmir. Homomorfizm – R hal qasının R′ halqasına elә φ inikasıdır ki, istәnilәn a, b R üçün (a + b)φ = aφ + bφ, (ab)φ = (aφ)(bφ) olsun. Cәbr üçün (eyni bir F meydanı üzәrin dә olan) istәnilәn α F üçün (αa) φ=α(aφ) olması da tәlәb olunur. Əgәr bu halda φ biyektiv inikasdırsa (yәni R′-ә qarşılıqlı birqiymәtli inikasdırsa), onda o izomorfizm, R vә R′ halqaları (cәbrlәri) isә izomorf halqalar adlanır. A halqasının (cәbrinin) elementlәrindәn ibarәt olan M çoxluğu o vaxt althalqa (altcәbr) olar ki, M özü A-da tәyin olunmuş әmәliyyatlara nәzәrәn halqa (cәbr) olsun. M çoxluğu o vaxt sol (sağ vә ya ikitәrәfli) ideal adlanar ki, bu şәrtdәn әlavә istәnilәn m M vә a A elementlәri üçün am (müvafiq olaraq ma, yaxud hәm am, hәm dә ma) hasili M-dә yerlәşsin. b – a M olarsa, a,b A elementlәri M idealına görә müqayisә olunandır. Bütün A halqaları (cәbrlәri) müqayisәolunan elementlәr sinfinә – ideala görә çıxıqlar sinfinә bölünür. Belәliklә, hәr bir ideal A çoxluğunda ekvivalentlik münasibәti tәyin edir vә ikitәrәfli M idealı üzrә çıxıqlar sinfindә hәmin siniflәrin elementlәrinin toplanması vә vurulması ilә toplama vә vurmanı (meydanın elementinә vurma) tәyin etmәk olar. Bu әmәliyyatlara nәzәrәn çıxıqlar sinfi faktor halqa (faktor cәbr) adlanan halqanı (cәbri) әmәlә gәtirir (A/M). Homomorfizm haqqında aşağıdakı teorem doğrudur: әgәr A-dan olan hәr elementә uyğun olaraq, onu saxlayan sinfi qarşı qoysaq, A-nın A/M-ә homomorfizmi alınar, tәrsinә: әgәr AA′-ә homomorf inikas olunursa, onda A′ halqasının (cәbrinin) sıfırına inikas olunan A-nın elementlәrindәn ibarәt vә A′-ә izomorf olan M çoxluğu A vә A/M-dә ikitәrәfli ideal olacaq. İkitәrәfli idealı olmayan halqa sadә halqa adlanır.
Azərbaycan Milli Ensiklopediyası
“Azərbaycan” xüsusi cildi (Az)“Azərbaycan” xüsusi cildi (rus)I CİLDII CİLDIII CİLDIV CİLDV CİLDVI CİLDVII CİLDVIII CİLDIX CİLDX CİLDXI CİLD
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, “Azərbaycan” xüsusi cildi (Azərbaycan dilində) |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2007 |
| ISBN: | 978-9952-441-01-7 |
| Səhifələrin sayı: | 881 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, “Azərbaycan” xüsusi cildi (rus dilində) |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2012 |
| ISBN: | 978-9952-441-01-7 |
| Səhifələrin sayı: | 881 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, I CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2009 |
| ISBN: | 978-9952-441-02-4 |
| Səhifələrin sayı: | 608 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, II CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2010 |
| ISBN: | 978-9952-441-05-5 |
| Səhifələrin sayı: | 604 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, III CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2011 |
| ISBN: | 978-9952-441-07-9 |
| Səhifələrin sayı: | 604 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, IV CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2013 |
| ISBN: | 978-9952-441-03-1 |
| Səhifələrin sayı: | 608 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, V CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2014 |
| ISBN: | 978-9952-441-10-9 |
| Səhifələrin sayı: | 592 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, VI CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2015 |
| ISBN: | 978-9952-441-11-6 |
| Səhifələrin sayı: | 608 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, VII CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2016 |
| ISBN: | 978-9952-441-12-3 |
| Səhifələrin sayı: | 608 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, VIII CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | |
| ISBN: | |
| Səhifələrin sayı: |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, IX CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2019 |
| ISBN: | 978-9952-441-17-8 |
| Səhifələrin sayı: | 600 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, X CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili | 2020 |
| ISBN: | 978-9952-441-18-5 |
| Səhifələrin sayı: | 600 |
| Sərlövhə: | Azərbaycan Milli Ensiklopediyası, XI CİLD |
| Nəşriyyat: | "Azərbaycan Milli Ensiklopediyası" Elmi Mərkəzi |
| Nəşr yeri: | Bakı |
| Nəşr ili: | 2024 |
| ISBN: | 978-9952-441-20-8 |
| Səhifələrin sayı: | 600 |
GİYAN – HƏŞTƏRXAN DÖVLƏT TƏBİƏT BİOSFER QORUĞU
HALQALAR NƏZƏRİYYƏSİ
HALQALAR NƏZƏRİYYƏSİ – cәbrin halqaları öyrәnәn bölmәsi; yәni elementlәri üçün toplama vә vurma әmәllәri (müvafiq olaraq, + vә · kimi işarә olunur, · işarәsi adәtәn buraxılır) tәyin edilәn vә istәnilәn a, b, c R üçün aşağıdakı aksiomlar ödәnilәn R boş olmayan çoxluqları öyrәnir: a + b = b + a (toplamanın kommu tativliyi); a + (b + c) = (a + b) + c (toplamanın assosi ativliyi); a + x = b-nin tәnliyinin hәlli x = b – a R kimidir (toplamanın dönәnliyi, yәni çıxmanın mümkünlüyü); a (b + c) = ab + ac vә (b + c)a = ba + ca (vurmanın toplamaya nәzәrәn distributivliyi). Halqanın elementlәri toplamaya nәzәrәn Abel qrupu tәşkil edir (bax Qruplar nәzәriyyәsi) vә halqanın additiv qrupu adlanır. Bu qrupun sıfrı (0) vurmaya nәzәrәn “uducu” element adlanır, yәni halqanın ixtiyari a elementi üçün a·0=0·a=0. Ümumiyyәtlә halqa, sıfırın bölәnlәrini, yәni hasillәri 0 olan sıfırdan fәrqli iki a vә b elementlәrini saxlaya bilәr. R halqasının vahidi elә 1 elementidir ki, istәnilәn a R üçün a·1=1·a. Halqada vahidin olması vacib deyil, amma vahid varsa, onda yeganәdir. Halqaya aid misallar. 1. Bütün tam әdәdlәr çoxluğu. 2. Bütün cüt әdәdlәr, ümumiyyәtlә, verilmiş m әdәdinin misillәri olan tam әdәdlәr çoxluğu. 3. Bütün rasional әdәdlәr çoxluğu. 4. Bütün hәqiqi әdәdlәr çoxluğu. 5. Bütün kompleks әdәdlәr çoxluğu. 6. Bütün Qauss әdәdlәri çoxluğu, yәni a + ib kompleks әdәdlәri (a vә b tam әdәdlәrdir). 7. Rasional, hәqiqi vә ya kompleks әmsallı bir vә ya bir neçә dәyişәndәn asılı bütün çoxhәdlilәr çoxluğu. 8. Ədәd oxunun verilmiş parçasında kәsilmәz olan bütün funksiyalar çoxluğu. 9. Hәqiqi elementli n tәrtibli bütün kvadrat matrislәr çoxluğu. 10. Bütün kvaternionlar çoxluğu. 11. Bütün Keli әdәdlәri çoxluğu. 12. Matrislәrin toplanmasına vә a◦b=(ab+ba)/2 Yordan hasilinә nәzәrәn hәqiqi elementli n tәrtibli bütün simmetrik matrislәr çoxluğu. 13. Adi toplama vә vektorial vurmaya nәzәrәn 3-ölçülü fәzanın bütün vektorlar çoxluğu. Bir çox hallarda halqada vurmaya әlavә mәhdudiyyәtlәr qoyulur. Mәs., әgәr a(bc)=(ab)c olarsa, onda halqa assosiativ halqa adlanır (1–10 misalları); әgәr halqada (aa)b=a(ab), (ab)b=a(bb) bәrabәrliklәri ödәnәrsә, onda alternativ halqa adlanır (1-ci misal); әgәr halqada ab = ba vә (ab)(aa) = (aa)ba bәrabәrliklәri ödә nәrsә, onda o, Yordan halqası adlanır (12-ci misal); әgәr hal qada a2 = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 bәrabәrliklәri ödәnәrsә, onda o, Li halqası (13-cü misal) adlanır; әgәr ab = ba ödәnәrsә, onda halqa kommutativ halqa adlanır (1–8-ci, 12-ci misallar). Vahidi olan vә sıfırın bölәnlәrini saxlamayan assosiativkom mutativ halqaya tamlıq oblastı deyilir (1–7-ci misallar). A ≠ 0 olduqda ax = b vә xa = b tәnliklәrinin hәll oluna bildiyi assosiativ halqaya cisim deyilir (3–5-ci, 10- cu misallar); cismin vahidi var vә o sıfrın bölәnlәrini saxlamır. Kommutativ cismә meydan deyilir. Cismin (meydanın) sıfırdan fәrqli bütün elementlәriни çoxluğu vurmaya nәzәrәn cismin (meydanın) multiplikativ qrupu adlanan qrup (Abel qrupu) tәşkil edir. 7 vә 9 misallarındakı halqalara analoji olaraq tәyin olunan ixtiyari meydan üzәrindә çoxhәdlilәr halqası vә cisimlәr üzәrindә matrislәr halqası cәbrin bir çox sahәlәri üçün әhәmiyyәtlidir. Halqaların bir çoxu cәbrdәn kәnarda da tәtbiq olunur. Onlardan әn әhәmiyyәtlilәri funksional analizdә istifadә olunan funksiyalar halqası vә operatorlar halqasıdır. Tutaq ki, F – vahidi 1 olan istәnilәn assosiativ halqadır. Əgәr F-dәn olan ixtiyari elementin A-dan olan ixtiyari elementә hasili (A-da yerlәşәn) elә tәyin olunubsa ki, bütün α, β F a, b A üçün (α + β)a = αa + βa, α(a + b) = αa + αb, α(βa) = (αβ)a, 1a = a, α(ab) = (αa)b. münasibәtlәri ödәnsin, onda A halqası (assosiativ olması zәruri deyil) F üzәrindә cәbr vә ya F-nin operatorlarından ibarәt operatorlar halqası adlanır. Əgәr F kommutativdirsә, onda axırıncı şәrti daha güclü şәrtlә әvәz edirlәr: α(ab) = (αa)b = a(αb). Əgәr na hasili a elementinin a + a +...+ a n dәfә cәmi kimi başa düşülürsә, istәnilәn halqanı tam әdәdlәr halqası üzәrindә cәbr hesab etmәk olar. Ona görә halqaya cәbrin xüsusi halı kimi baxmaq olar. Əgәr A meydan üzәrindә cәbrdirsә (hәmçinin, xәtti cәbr adlanır), onda, A bu meydan üzәrindә vektor fәzasıdır vә demәli, bazisi var. Bu, bazisә görә meydan üzәrin dә cәbr qurmağa imkan verir, bunun üçün bazis elementlәrinin vurma cәdvәlini vermәk kifayәtdir. Meydan üzәrindәki cәbr o vaxt sonlu-ölçülü olar ki, o, vektor fәzalar kimi sonlu-ölçülü olsun. Bu vektor fәzanın ölçüsünә hәm dә cәbrin ranqı deyilir. H.n.-ndә homomorfizm vә izomorfizm anlayışları mühüm rol oynayır. Bir çox mülahizәlәr vә tәsvirlәr “izomorfizm dәqiqliyi ilә” aparılır, yәni izomorf halqalar vә cәbrlәr fәrqlәnmir. Homomorfizm – R hal qasının R′ halqasına elә φ inikasıdır ki, istәnilәn a, b R üçün (a + b)φ = aφ + bφ, (ab)φ = (aφ)(bφ) olsun. Cәbr üçün (eyni bir F meydanı üzәrin dә olan) istәnilәn α F üçün (αa) φ=α(aφ) olması da tәlәb olunur. Əgәr bu halda φ biyektiv inikasdırsa (yәni R′-ә qarşılıqlı birqiymәtli inikasdırsa), onda o izomorfizm, R vә R′ halqaları (cәbrlәri) isә izomorf halqalar adlanır. A halqasının (cәbrinin) elementlәrindәn ibarәt olan M çoxluğu o vaxt althalqa (altcәbr) olar ki, M özü A-da tәyin olunmuş әmәliyyatlara nәzәrәn halqa (cәbr) olsun. M çoxluğu o vaxt sol (sağ vә ya ikitәrәfli) ideal adlanar ki, bu şәrtdәn әlavә istәnilәn m M vә a A elementlәri üçün am (müvafiq olaraq ma, yaxud hәm am, hәm dә ma) hasili M-dә yerlәşsin. b – a M olarsa, a,b A elementlәri M idealına görә müqayisә olunandır. Bütün A halqaları (cәbrlәri) müqayisәolunan elementlәr sinfinә – ideala görә çıxıqlar sinfinә bölünür. Belәliklә, hәr bir ideal A çoxluğunda ekvivalentlik münasibәti tәyin edir vә ikitәrәfli M idealı üzrә çıxıqlar sinfindә hәmin siniflәrin elementlәrinin toplanması vә vurulması ilә toplama vә vurmanı (meydanın elementinә vurma) tәyin etmәk olar. Bu әmәliyyatlara nәzәrәn çıxıqlar sinfi faktor halqa (faktor cәbr) adlanan halqanı (cәbri) әmәlә gәtirir (A/M). Homomorfizm haqqında aşağıdakı teorem doğrudur: әgәr A-dan olan hәr elementә uyğun olaraq, onu saxlayan sinfi qarşı qoysaq, A-nın A/M-ә homomorfizmi alınar, tәrsinә: әgәr AA′-ә homomorf inikas olunursa, onda A′ halqasının (cәbrinin) sıfırına inikas olunan A-nın elementlәrindәn ibarәt vә A′-ә izomorf olan M çoxluğu A vә A/M-dә ikitәrәfli ideal olacaq. İkitәrәfli idealı olmayan halqa sadә halqa adlanır.
HALQALAR NƏZƏRİYYƏSİ
HALQALAR NƏZƏRİYYƏSİ – cәbrin halqaları öyrәnәn bölmәsi; yәni elementlәri üçün toplama vә vurma әmәllәri (müvafiq olaraq, + vә · kimi işarә olunur, · işarәsi adәtәn buraxılır) tәyin edilәn vә istәnilәn a, b, c R üçün aşağıdakı aksiomlar ödәnilәn R boş olmayan çoxluqları öyrәnir: a + b = b + a (toplamanın kommu tativliyi); a + (b + c) = (a + b) + c (toplamanın assosi ativliyi); a + x = b-nin tәnliyinin hәlli x = b – a R kimidir (toplamanın dönәnliyi, yәni çıxmanın mümkünlüyü); a (b + c) = ab + ac vә (b + c)a = ba + ca (vurmanın toplamaya nәzәrәn distributivliyi). Halqanın elementlәri toplamaya nәzәrәn Abel qrupu tәşkil edir (bax Qruplar nәzәriyyәsi) vә halqanın additiv qrupu adlanır. Bu qrupun sıfrı (0) vurmaya nәzәrәn “uducu” element adlanır, yәni halqanın ixtiyari a elementi üçün a·0=0·a=0. Ümumiyyәtlә halqa, sıfırın bölәnlәrini, yәni hasillәri 0 olan sıfırdan fәrqli iki a vә b elementlәrini saxlaya bilәr. R halqasının vahidi elә 1 elementidir ki, istәnilәn a R üçün a·1=1·a. Halqada vahidin olması vacib deyil, amma vahid varsa, onda yeganәdir. Halqaya aid misallar. 1. Bütün tam әdәdlәr çoxluğu. 2. Bütün cüt әdәdlәr, ümumiyyәtlә, verilmiş m әdәdinin misillәri olan tam әdәdlәr çoxluğu. 3. Bütün rasional әdәdlәr çoxluğu. 4. Bütün hәqiqi әdәdlәr çoxluğu. 5. Bütün kompleks әdәdlәr çoxluğu. 6. Bütün Qauss әdәdlәri çoxluğu, yәni a + ib kompleks әdәdlәri (a vә b tam әdәdlәrdir). 7. Rasional, hәqiqi vә ya kompleks әmsallı bir vә ya bir neçә dәyişәndәn asılı bütün çoxhәdlilәr çoxluğu. 8. Ədәd oxunun verilmiş parçasında kәsilmәz olan bütün funksiyalar çoxluğu. 9. Hәqiqi elementli n tәrtibli bütün kvadrat matrislәr çoxluğu. 10. Bütün kvaternionlar çoxluğu. 11. Bütün Keli әdәdlәri çoxluğu. 12. Matrislәrin toplanmasına vә a◦b=(ab+ba)/2 Yordan hasilinә nәzәrәn hәqiqi elementli n tәrtibli bütün simmetrik matrislәr çoxluğu. 13. Adi toplama vә vektorial vurmaya nәzәrәn 3-ölçülü fәzanın bütün vektorlar çoxluğu. Bir çox hallarda halqada vurmaya әlavә mәhdudiyyәtlәr qoyulur. Mәs., әgәr a(bc)=(ab)c olarsa, onda halqa assosiativ halqa adlanır (1–10 misalları); әgәr halqada (aa)b=a(ab), (ab)b=a(bb) bәrabәrliklәri ödәnәrsә, onda alternativ halqa adlanır (1-ci misal); әgәr halqada ab = ba vә (ab)(aa) = (aa)ba bәrabәrliklәri ödә nәrsә, onda o, Yordan halqası adlanır (12-ci misal); әgәr hal qada a2 = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 bәrabәrliklәri ödәnәrsә, onda o, Li halqası (13-cü misal) adlanır; әgәr ab = ba ödәnәrsә, onda halqa kommutativ halqa adlanır (1–8-ci, 12-ci misallar). Vahidi olan vә sıfırın bölәnlәrini saxlamayan assosiativkom mutativ halqaya tamlıq oblastı deyilir (1–7-ci misallar). A ≠ 0 olduqda ax = b vә xa = b tәnliklәrinin hәll oluna bildiyi assosiativ halqaya cisim deyilir (3–5-ci, 10- cu misallar); cismin vahidi var vә o sıfrın bölәnlәrini saxlamır. Kommutativ cismә meydan deyilir. Cismin (meydanın) sıfırdan fәrqli bütün elementlәriни çoxluğu vurmaya nәzәrәn cismin (meydanın) multiplikativ qrupu adlanan qrup (Abel qrupu) tәşkil edir. 7 vә 9 misallarındakı halqalara analoji olaraq tәyin olunan ixtiyari meydan üzәrindә çoxhәdlilәr halqası vә cisimlәr üzәrindә matrislәr halqası cәbrin bir çox sahәlәri üçün әhәmiyyәtlidir. Halqaların bir çoxu cәbrdәn kәnarda da tәtbiq olunur. Onlardan әn әhәmiyyәtlilәri funksional analizdә istifadә olunan funksiyalar halqası vә operatorlar halqasıdır. Tutaq ki, F – vahidi 1 olan istәnilәn assosiativ halqadır. Əgәr F-dәn olan ixtiyari elementin A-dan olan ixtiyari elementә hasili (A-da yerlәşәn) elә tәyin olunubsa ki, bütün α, β F a, b A üçün (α + β)a = αa + βa, α(a + b) = αa + αb, α(βa) = (αβ)a, 1a = a, α(ab) = (αa)b. münasibәtlәri ödәnsin, onda A halqası (assosiativ olması zәruri deyil) F üzәrindә cәbr vә ya F-nin operatorlarından ibarәt operatorlar halqası adlanır. Əgәr F kommutativdirsә, onda axırıncı şәrti daha güclü şәrtlә әvәz edirlәr: α(ab) = (αa)b = a(αb). Əgәr na hasili a elementinin a + a +...+ a n dәfә cәmi kimi başa düşülürsә, istәnilәn halqanı tam әdәdlәr halqası üzәrindә cәbr hesab etmәk olar. Ona görә halqaya cәbrin xüsusi halı kimi baxmaq olar. Əgәr A meydan üzәrindә cәbrdirsә (hәmçinin, xәtti cәbr adlanır), onda, A bu meydan üzәrindә vektor fәzasıdır vә demәli, bazisi var. Bu, bazisә görә meydan üzәrin dә cәbr qurmağa imkan verir, bunun üçün bazis elementlәrinin vurma cәdvәlini vermәk kifayәtdir. Meydan üzәrindәki cәbr o vaxt sonlu-ölçülü olar ki, o, vektor fәzalar kimi sonlu-ölçülü olsun. Bu vektor fәzanın ölçüsünә hәm dә cәbrin ranqı deyilir. H.n.-ndә homomorfizm vә izomorfizm anlayışları mühüm rol oynayır. Bir çox mülahizәlәr vә tәsvirlәr “izomorfizm dәqiqliyi ilә” aparılır, yәni izomorf halqalar vә cәbrlәr fәrqlәnmir. Homomorfizm – R hal qasının R′ halqasına elә φ inikasıdır ki, istәnilәn a, b R üçün (a + b)φ = aφ + bφ, (ab)φ = (aφ)(bφ) olsun. Cәbr üçün (eyni bir F meydanı üzәrin dә olan) istәnilәn α F üçün (αa) φ=α(aφ) olması da tәlәb olunur. Əgәr bu halda φ biyektiv inikasdırsa (yәni R′-ә qarşılıqlı birqiymәtli inikasdırsa), onda o izomorfizm, R vә R′ halqaları (cәbrlәri) isә izomorf halqalar adlanır. A halqasının (cәbrinin) elementlәrindәn ibarәt olan M çoxluğu o vaxt althalqa (altcәbr) olar ki, M özü A-da tәyin olunmuş әmәliyyatlara nәzәrәn halqa (cәbr) olsun. M çoxluğu o vaxt sol (sağ vә ya ikitәrәfli) ideal adlanar ki, bu şәrtdәn әlavә istәnilәn m M vә a A elementlәri üçün am (müvafiq olaraq ma, yaxud hәm am, hәm dә ma) hasili M-dә yerlәşsin. b – a M olarsa, a,b A elementlәri M idealına görә müqayisә olunandır. Bütün A halqaları (cәbrlәri) müqayisәolunan elementlәr sinfinә – ideala görә çıxıqlar sinfinә bölünür. Belәliklә, hәr bir ideal A çoxluğunda ekvivalentlik münasibәti tәyin edir vә ikitәrәfli M idealı üzrә çıxıqlar sinfindә hәmin siniflәrin elementlәrinin toplanması vә vurulması ilә toplama vә vurmanı (meydanın elementinә vurma) tәyin etmәk olar. Bu әmәliyyatlara nәzәrәn çıxıqlar sinfi faktor halqa (faktor cәbr) adlanan halqanı (cәbri) әmәlә gәtirir (A/M). Homomorfizm haqqında aşağıdakı teorem doğrudur: әgәr A-dan olan hәr elementә uyğun olaraq, onu saxlayan sinfi qarşı qoysaq, A-nın A/M-ә homomorfizmi alınar, tәrsinә: әgәr AA′-ә homomorf inikas olunursa, onda A′ halqasının (cәbrinin) sıfırına inikas olunan A-nın elementlәrindәn ibarәt vә A′-ә izomorf olan M çoxluğu A vә A/M-dә ikitәrәfli ideal olacaq. İkitәrәfli idealı olmayan halqa sadә halqa adlanır.
