БУЛ ЪЯБРИ, Бул гяфяси – гисмян низамланмыш хцсуси нюв чохлуг. Б.ъ. формал олараг ашаьыдакы аксиомлары юдяйян, ˅, ˄, ̅̅ ямялляри олан бош олмайан чохлуг кими тяйин едилир:
1) х˅й=й˅х, х˄й=й˄х;
2) х˅(й˅з)=(х˅й)˅з, х˄(й˄з)=(х˄й)˄з
3) (х˄й)˅й=й. (х˅й)˄й=й;
4) х˄(й˅з)=(х˄й)˅(х˄з),
х˅(й˄з)=(х˅й)˄(х˅з);
5) (х˄х–)˅й=й, (х˅х–)˄й=й.
Б.ъ. елементляринин тянзимлянмяси йалныз х=х˄й олдугда х ≤й шярти иля йериня йетирилир. Б.ъ.-ндя ян бюйцк елемент 1–Б.ъ.-нин ващиди, 1= х˅х– вя ян кичик елемент 0 – Б.ъ.-нин сыфыры, 0 = х˄х– вардыр. ˅вя ˄ ямялляри дизйунксийа вя конйунксийа адланыр вя бязян суп вя инф, бязян дя ∪ вя ∩ кими эюстяриляряк, онларын чохлуглар нязяриййясинин бирляшмя вя кясишмя ямялляри иля уйьунлуьу гейд едилир. Конйунксийа & символу иля дя ишаря едилир. Б.ъ.-нин елементи х елементинин тамамлайыъысы адланыр вя бязян Ъх, х′, -х, ¬х кими ишаря едилир. Б.ъ.-ндя щяр бир елементин тамамлайыъысы йеэанядир. Б.ъ.-ни щям дя ян бюйцк елементи 1, йяни Б.ъ.-нин ващиди, ян кичик елементи 0, йяни Б.ъ.-нин сыфыры олан вя юзцнцн щяр бир х елементи иля бирликдя онун суп{х, Ъх}=1, инф{х, Ъх}= 0 шяртлярини юдяйян Ъх тамамлайыъы елементини сахлайан дистрибутив гяфяс (дистрибутив структур, бах Гяфясляр нязяриййяси) кими тяйин етмяк олар. Б.ъ-нин диэяр аксиоматик тяйинляри дя мцмкцндцр. Б.ъ.-нин аксиомларында чохлуг, щадися, мцлащизя анлайышлары арасындакы аналоэийа яксини тапмышдыр. Б.ъ.-ндя ясас ˅, ˄, ̅̅ ямялляриндян башга диэярляри дя тяйин олуна биляр ки, онлар арасында xΔy = (x ˄ y–) ˅ (y˄х–) симметрик фярг ямяли хцсуси ящямиййятя маликдир. Б.ъ., символик мянтиг апараты кими, Ъ. Бул тяряфиндян елмя 1847 илдя дахил едилмишдир. Сонралар Б.ъ. рийазиййатын мцхтялиф бюлмяляриндя: ещтимал нязяриййясиндя, тополоэийада, функсионал анализдя вя с. эениш тятбигини тапмышдыр. Б.ъ.-нин мянтигя тятбигинин ясасыны Б.ъ. елементляринин мцлащизяляр шяклиндя интерпретасийасы тяшкил едир; бурада Ъх тамамлайыъысы х мцлащизясинин инкары, ˄ вя ˅ ямялляри ися мцлащизялярин конйунксийасы вя дизйунксийасы кими изащ едилир. Б.ъ.-нин диэяр тятбиг сащяси – контакт схемляри нязяриййяси дя мянтигя йахындыр. Б.ъ. ещтимал нязяриййясинин аксиомларында истифадя олунур. Ещтимал нязяриййясиндя юйрянилян щадисяляр ъябри Б.ъ.-дир, бу заман х≤й бярабярсизлийи о демякдир ки, х щадисяси й щадисясини доьурур; буна уйьун олараг Б.ъ.-нин сыфыры, Б.ъ.-нин ващиди вя ˅, ˄, ̅̅ Бул ямялляри изащ едилир. Гейд олунмуш Г чохлуьунун дахилолмайа эюря низамланмыш бцтцн алтчохлуглар системи Б.ъ.-ня мисал ола биляр. Беля Б.ъ. 2Г шяклиндя ифадя едилир; онун сыфыры бош чохлуг, ващиди ися Г чохлуьунун юзцдцр. х елементинин тамамлайыъысы Гх чохлуьудур; ˄, ˅ Бул ямялляри уйьун олараг кясишмя вя бирляшмя иля цст-цстя дцшцр. Щяр щансы Х Б.ъ. щансыса чохлуглар ъябриня изоморфдур. Яэяр щяр щансы Е⊂ Х
чохлуьунун суп Е йухары сярщяди вя инф Е ашаьы сярщяди варса, онда Х Б.ъ. долу адланыр. Долу олмайан Б.ъ. бир чох цсулларла долдурула биляр, йяни алтъябр кими щансыса долу Б.ъ.-ня дахил едиля биляр. Долу Б.ъ.-ндя х≠0 олдугда μ (х)>0; х,й∈Е, х≠й олдугда Е⊂ Х вя х∧й=0 шяртлярини юдяйян P(supE ) ¦P(x) xE
щягиги функсийасы (юлчц) тяйин едилдикдя о, нормалашдырылмыш долу Б.ъ. адланыр: Нормалашдырылмыш Б.ъ.-нин хцсусиля мцщцм олдуьу ещтимал нязяриййясиндя, адятян, фярз едилир ки, μ(1)=1. Бу щалда μ(х)-ин гиймяти х щадисясинин ещтималы кими интерпретасийа олунур. Нормалашдырылмыш Б.ъ.-ня, ясасян, классик юлчц вя интеграл нязяриййяси эятирилир. Щяр бир Б.ъ. нормалашдырыла билмяз. Юлчцнцн мювъудлуьунун мцхтялиф шяртляри мялумдур, лакин онлар нормалашдырма проблемини там ящатя едя билмир. Б.ъ.-нин мцхтялиф тополоэийалары ола биляр. Бунлардан ян мцщцмц (о)-тополоэийадыр; о, нормалашдырылмыш Б.ъ.-ндя юл- чцлябиляндир вя ρ (x, y) = μ [(x ˄ y–) ˅ (х–˄y)] метрикасына уйьундур. Цмуми щалда Б.ъ.-нин тяртиби иля йахшы уйьунлашмыш тополоэийа олмайа биляр.
