CЯБР [орта яср лат. ъябр, яряб ял-ъябр – тянлийин айры-айры щиссяляринин бирляшмяси], рийазиййатын ъябри ямялляри юйрянян ян гядим бюлмяси. О, рийази обйектляр цзяриндя ямялиййатлары юйрянир вя рийазиййатын цмуми анлайыш вя цсулларынын дцрцст ифадя олунмасына кюмяк едир. Ъ.-ин мягсяд вя методлары яввялъя тянликлярин гурулмасы вя онларын щяллиндян ибарят олмушдур. Тянликлярин арашдырылмасы иля ялагядар ядяд анлайышы инкишаф етмишдир, мянфи, расионал, иррасионал вя комплекс ядядляр Ъ.-я дахил едилмишдир; бу ядяди системлярин хассяляринин бирэя арашдырылмасы Ъ.-я аиддир. Ъ.-дя ядядляр цзяриндя апарылан ямялиййатларын хассялярини конкрет ядядлярин иштирак етмядийи формада ифадя етмяйя имкан верян щярфи ишарялямяляр formalaшмышдыr. Щярфи ифадялярин мцяййян гайда цзря (ямялиййатларын хассяляри иля ялагядар) дяйишдирилмяси классик Ъ. апаратыны тяшкил едир. Ъ.-ин инкишафы рийазиййатын йени сащяляринин, хцсусиля рийази анализин, диференсиал вя интеграл щесабынын инкишафына бюйцк тясир эюстярди. Ядядлярин топланмасы вя вурулмасына аналожи олан ямялиййатларын апарылдыьы щяр йердя Ъ.-ин тятбиги мцмкцндцр. Бу ямялиййатлар мцхтялифтябиятли обйектляр цзяриндя апарыла биляр. Ъябри цсулларын беля эениш тятбигиня мисал олараг вектор ъябрини (бах Хятти ъябр) вя онун сонракы цмумиляшмяси олан вя мцасир физиканын ян ваъиб васитяляриндян сайылан тензор ъябрини эюстярмяк олар (бах Тензор щесабы). Ъ. даща эениш, мцасир анламда юз хассяляриня эюря ядядлярин топланмасы вя вурулмасына охшар ъябри ямялиййатлар адланан бу вя йа диэяр тябиятли обйектляр системи щаггында елм кими тяйин олуна биляр. Ъ., системляри, онлар цзяриндя верилмиш ъябри ямялиййатларын хассяляриня эюря синифляря бюлцр вя йени обйектляр системиндя йени мяна верян тянликлярин арашдырылмасы вя щялли мясяляси дахил олмагла бу системлярдя тябии олараг мейдана чыхан мцхтялиф мясяляляри юйрянир (вектор, матрис, оператор тянлийин щялли ола биляр). Йалныз 20 ясрдя Ъ. щаггында формалашан бу йени мцнасибят тякъя рийазиййатда дейил, диэяр елмлярдя, о ъцмлядян физикада да ъябри цсулларын тятбиг областынын сонракы эе- нишлянмясиня сябяб olмушдur. Бу щадися Ъ.-ин рийазиййатын башга сащяляри иля ялагясини мющкямляндирмиш вя онларын инкишафында Ъ.-ин тясирини geniшlяndirмишдir. Тарихи очерк. Ъ., ямялиййатлары яввялъя анъаг там ядядлярин, сонра ися кясрлярин топланмасы, чыхылмасы, вурулмасы вя бюлцнмясиндян ибарят олан щесаб фяннинин юнцня кечмишдир. Яввялляр Ъ.-ин щесабдан фярги ондан ибарят олмушдур ки, Ъ.-я мяъщул кямиййят дахил едир, мясялянин шяrtиня ясасян ямялиййат апарараг тянлик гурур вя бу тянликдян мяъщулу тапырдылар. Hesab мясяляляринин беля изащынын елементляриня Ахмесин гядим мисир папирусларында (бах Рийази папируслар) раст эялинир, бурада ахтарылан кямиййят уйьун щероглифля ишаря олунур. Гядим мисирлиляр кифайят гядяр чятин мясяляляри (щесаби вя щяндяси тянасцблярля ялагяли) щялл едирдиляр. Мясялялярин щям дцрцст ифадяси, щям дя щялли шифащи вя йалныз конкрет ядяди мисаллар
шяклиндя верилирди. 20 ясрин яввялляриндя рийази михи мятнляр охунду вя гядим Бабилистан мядяниййяти юйрянилди. Бабилистанлылар 4000 ил биздян габаг хцсуси ъядвяллярин кюмяйи иля мцхтялиф мясяляляри щялл едя билмишляр; бунлардан бязиляри квадрат тянликлярин вя щятта 3-дяряъяли тянлийин бир нювцнцн щялли иля ейниэцълцдцр. Рийазиййата мянтиги исбатлары биринъи дяфя гядим йунан щяндясячиляри дахил етмишляр. Щяндяси цсуллар чярчивясиндя бир чох рийази мясяляляр щяндяся дилиндя изащ едилмишдир: кямиййятляр узунлуг кими, ики кямиййятин щасили дцзбуъаглынын сащяси кими вя с. шярщ олунмушдур. Мцасир рийазиййат дилиндя, мяс., “квадрат” ады кямиййятин юз-юзцня щасили кими сахланылмышдыр. Гядим yунан рийазиййатынын гейри-щяндяси инкишаф хяттиня Диофантын “Щесаб” трактаты аиддир, бурада о, 1-ъи, 2-ъи вя даща йцксяк дяряъяли тянликлярля кифайят гядяр сярбяст ямялиййат апарыр. Бу елми ясярдя щярфи ишарялямялярдян вя мянфи ядядлярдян истифадя ъящдлярини эюрмяк олур. Конкрет мисалларда 2-мяъщуллу 3- дяряъяли тянликлярин расионал яdяdlяrля щялли цсуллары габагъадан dцшцнцлцр. Гядим йунан елминин наилиййятляри орта яср Шярг алимляри, о ъцмлядян ял-Харязми вя Бируни тяряфиндян инкишаф етдирилмишдир. Шяргин алимляри онлара мялум олан рийазиййаты юзляриnин орижинал емаллары иля Авропайа ютцрцрдцляр, онлар хцсусян Ъ.- ля даща чох мяшьул олурдулар. “Ъ.” термини яl-Харязмин, тянлийин чеврилмяси цсулларындан бири мянасыны верян “Яl-ъябр яl-мукабала” ясяринин адындан иряли эялир. Яl-Харязми дюврцндян Ъ.-я рийазиййатын айрыъа бюлмяси кими бахмаг олар. Орта яср Шярг рийазиййатчылары бцтцн ямялляри сюзлярля ифадя едибляр. Ъ.-ин сонракы тяряггиси йалныз ямяллярин ишаря олун- масы цчцн ялверишли символларын йаранмасындан сонра мцмкцн олмушдур (бах Рийази ишаряляр). Бу просес чох лянэ gediрди вя анъаг 15 ясрин ахырында инди гябул едилмиш + вя – ишаряляри мейдана эялди. Сонра гцввят, кюк ишаряляри вя щямчинин мютяризя дахил едилмиш вя цмумбяшяри тяс- дигини тапмышдыр. 17 ясрин орталарында мцасир Ъ.-ин символлар апараты там шякилдя formalaшды – йалныз ахтарылан мяъщул дейил, цмумиййятля, мясялядя иштирак едян кямиййятляр дя щярфлярля ишаря olunдu. Бу- на гядяр Ъ.-дя вя щесабда цмуми гайдалар вя исбатлар олса да, йалныз ядяди мисаллара бахылмыш, демяк олар ки, щяр щансы бир цмуми фикир сюйлямяк мцмкцн олмамышдыр. Щятта, о вахтын елементар дярсликляри бир цмуми гайданын явязиня онларла хцсуси гайдалар вермишляр. Илк дяфя Ф. Вийет 1591 илдя мяъщул кямиййятляри А, Е, Ы,..., саитляри, мялумлары ися Б, С, Д,... самитляри иля ишаря едяряк мясяляни цмуми шякилдя йазмаьа башлады. О, бу щярфляри о заманкы рийази яmяliyyatlarыn ишаряляри иля ялагяляндирди вя беляликля, мцасир Ъ. цчцн сяъиййяви олан илк щярфи дцстурлар мейдана эялди. Р. Декартдан башлайараг мяъщуллары ишаря етмяк цчцн, бир гайда олараг, латын ялифбасынын сонунъу щярфляри х, й, з- дян истифадя едилир. Конкрет яdядlяri явяз едян щярфляр цзяриндя ямялиййатлар вя символик ишарялямялярин дахил едилмяси чох бюйцк ящямиййят кясб етмишдир. Бу дцстур дили олмасайды, рийазиййатын 17 ясрдян башлайараг сцрятли инкишафы, рийази анализин yaraдылmasы, механика вя физика ганунларынын рийази ифадяси мцмкцн олмазды. Тарихян Ъ.-ин биринъи мясяляси ъябри тянликлярин щялли, йяни онларын кюкляринин тапылмасы олмушдур. Мянфи ядядлярин мейдана чыхмасы тянликлярин щяллиндя бюйцк рол oйнамышдыr. Онлары щинд рийазиййатчылары 10 ясрдя рийазиййата эятирди, лакин орта яср Шярг алимляри онлардан истифадя етмядиляр. Мянфи яdядlяrlя ишлямяйя тядриъян юйряширдиляр; буна мянфи ядядлярин яйани мяна кясб еtdiйi тиъарят щесабламалары (мяс., зяряр, итки, боръ) сябяб олмушдур. Мянфи ядядлярин гяти олараг истифадясиня анъаг 17 ясрдя, Р. Декарт тяряфиндян онларын яйани щяндяси тясвири верилдикдян сонра башланылды. Ъябри тянликлярин щялли заманы ядяди областын эенишлянмяси тялябаты ортайа чыхды. Мяс., иkiдяряъяli тянлийин щялли заманы иррасионал ядядляр мейдана чыхыр (бах, щямчинин Ъябри ядяд). Кюкалма иля щяля гядим йунан вя Орта Аsiya рийазиййатчылары qarшыlaшмыш, onlarыn тягриби щесабланмасы цчцн аьыллы цсуллар тяклиф етмишдиляр. Иррасионаллыьа ядяди бахыш олдугъа эеъ formalaшмышдыr. Комплекс ядядлярин дахил едилмяси 18 ясря тясадцф едир. Истянилян н дяряъяли тянлийин н кюкц, цмумиййятля десяк, н комплекс кюкц вардыр, щям дя бу комплекс ямсаллы тянликляр цчцн дя доьрудур. Ъ.-ин ясас теореми адланан бу мцщцм теорем биринъи дяфя 17 ясрдя дцрцст ифадя олунмушдур. Онун исбатыны 18 ясрин axыrларыnda К. Гаусс вермишдир. Бцтцн мялум исбатларда бу вя йа диэяр формада кясилмязликдян истифадя етмяли идиляр; беляликля, Ъ.-ин ясас теореминин исбаты Ъ.-ин сярщядляриндян кянара чыxаrаг рийазиййатын бцтювлцкдя тамлыьыны нцмайиш етдирмишдир. Бир чох нязяри вя тяърцби мясяляляр бир тянлийя дейил, бир нечя мяъщуллу тянликляр системиня эятирилир. Хятти тянликляр системи хцсусиля мцщцмдцр. Тяърцбядя раст эялдийимиз тянликляр системи бу садя системляря эятирилир. Хятти тянликляр системинин щялли мцхтялиф тятбиги мясялялярин щялляри тяркибиндя ясас щиссяни тяшкил едир. Г. Лейбнитс 1693 илдя мцяййян етди ки, хятти тянликляр системинин юйрянилмясиндя систем тянликлярин ямсалларындан дцзялдилмиш матрис ясас рол ойнайыр. Сонралар матрисляр Ъ.-дя сярбяст юйрянилмя обйектиня чеврилди, беля ки, онларын ролу хятти тянликляр системи нязя риййясиня тятбиг едилмякля тамамланмыр. Аналитик щяндясянин мейдана эялмяси Ъ.-ля сых ялагядардыр. Яэяр гядим йунанларда сырф ъябри мясяляляр щяндяси формайа салынырдыса, сонралар ифадянин ъябри имканлары о гядяр ялверишли вя айдын олду ки, щяндяси мясяляляр ъябри дцстурлар дилиня кючцрцлдц. 17 ясрин ахыры 18 ясрин яvvяlлярindя сонсуз кичилянляр анализи йаранмыш вя сцрятля йайылмышдыр, бу щадися рийазиййатын инкишафында вя онун тятбигиндя бюйцк рол ойнамышдыр. Буна Ъ.-ин инкишафынын чох bюyцk тясири олмушдур. Хцсусиля щярфи ифадяляр вя онлар цзяриндя апарылан ямялляр щяля 16–17 ясрлярдя рийази кямиййятляря дяйишянляр кими baxылmaсына сябяб олмушдур ки, бу да сонсуз кичик кямиййятлярин тящлили цчцn сяъиййявидир, buрada бир кямиййятин кясилмяз dяyiшmяsinя, адятян башга кямиййятин кясилмяз дяйишмяси (щямин дяйишянин функсийасы) уйьун эялир. Ъ. вя рийази анализ 17–18 ясрлярдя бир- бири иля сых ялагядя инкишаф етмишди. Ъ.-я анализин анлайыш вя цсуллары дахил олмуш, бу истигамятдя ону И. Нйутон zяnginlяшdirмишдir. Диэяр тяряфдян Ъ. анализя инкишаф етмиш дцстурлар вя чевирмяляр топлусу вермиш, бунлар интеграл щесабынын вя диференсиал тянликляр нязяриййясинин инкишафынын башланьыъ дюврцндя бюйцк рол ойнамышдыр. Л. Ейлер дярслийинин ишыг цзц эюрмяси бу дюврдя ян бюйцк щадися олмушдур. 18 – 19 ясрлярдя Ъ.-ин анализдян фярги, онун ясас предметинин сонлу вя дискрет олмасы иля характеризя олунурду. Ясас ямялиййатлар, мяс., топлама Ъ.-дя сонлу сайда апарылыр. 19 ясрин биринъи йарысында Н.И. Lоbaчevski юз китабларындан бирини “Ъябр, yaхуд сонлуларын щесабланмасы” (1834) адландырараг, Ъ.-ин бу хцсусиййятини гейд едир. 18 ясря йахын Ъ. тяхминян, бу эцнляря гядяр орта мяктябдя юйрядилян щяъмдя иди. Бу Ъ. топлама, вурма, онларын тярси олан чыхма вя бюлмя ямяллярини, еляъя дя гцввятяйцksяltmя вя онун тярси олан кю- калманы ящатя едир. Бу яmяllяr ядядляр, йахуд щярфляр цзяриндя апарылыр, онлар мцсбят вя йа мянфи, расионал вя йа иррасионал яdядlяrи ифадя едя биляр. 18 ясря гядяр елементар Ъ.-я аид йыьылмыш материалын рус дилиндя изащы илк дяфя Л.Ф. Магнитскинин “Щесабда…” ясяриндя верилмишдир. 18–19 ясрлярдяки Ъ. щяр шейдян яввял чохщядлиляр ъябридир. Беляликля, Ъ.-ин обйекти (предмети) анализин обйектиндян даща darдыr. Бунунла беля, Ъ. вя рийази анализин тохунма нюгтяляринин сайы чохдур, артмагда давам едир вя онларын арасында кяскин сядд йохдур. Бир чох щалларда чохщядлилярин олдугъа садя функсийалар кими юйрянилмяси функсийаларын цмуми нязяриййясинин инкишафына кюмяк eтмишdir. Рийазиййатын бцтцн тарихи бойу даща мцряккяб функсийаларын юйрянилмяси чохщядлилярин вя йа сыраларын юйрянилмяси тенденсийасына эятириб чыхарыр. Диэяр тяряф- дян, Ъ. рийази анализ цчцн сяъиййяви олан кясилмязлик вя сонсузлуг идейаларыndаn даща чох истифадя етмяйя башлайыр. Ъябрин мцасир вязиййяти. Мцасир Ъ. цчцн цзяриндя ямялиййатлар апарылан обйектляр дейил, ямялиййатларын хассяляри сяъиййявидир. Садя бир мисал буну излямяйя имкан верир. (а+б)2=а2+2аб+б2 дцsturu mяlumdur. Онун нятиъяси ашаьыдакы бярабярликляр силсилясидир: 
(а+б)2=(а+б)(а+б)=(а+б)а+(а+б)б==(а2+ба)+(аб+б2)=а2+(ба+аб)+б2==а2+2аб+б2.
Bурада дистрибутивлик гануну ики дяфя истифадя едилмишдир, топлама заманы топлананлары груплашдырмаьа имкан верян ассосиативлик ганунундан, нящайят, ба=аб коммутативлик ганунундан истифадя olunмушдur. а вя б обйектляринин неъялийи мараглы дейил, ящямиййятлиси одур ки, онлар обйектлярин дейил, ямялиййатларын хассяляриня аид садаланан тялябляри юдяйян ики ямялин – топлама вя вурма ямялляринин тяйин олундуьу чохлугдан олсунлар. а вя б векторлар олдугда дцстур юз эцъцндя галыр, бу щалда сол тяряфдяки топлама векторларын топланмасы, саь тяряфдяки дцстурлар ися ядядлярин топланмасыдыр; vurулma дедикдя векторларын скалйар вурулмасы баша дцшцлцр. Бу дцстурда а вя б явязиня komмutativ матрисляри (йяни елялярини ки, аб=ба олсун, матрис цчцн бу юдянилмяйя дя биляр), ики асылы олмайан дяйишяня эюря диференсиаллама операторларыны вя с. дя гоймаг олар. Обйектлярин тябиятиндян йайынараг, лакин онларын цзяриндяки ямялиййатларын мцяййян хассялярини гейд едяряк ъябри ямялиййатлара малик чохлуг анлайышына эялирляр (бах Универсал ъябр). Рийазиййатын инкишафы вя онун тятбигинин эедишиндя яввялляр нисбятян аз олан ъябри структурларын типляри айырд едилирди: груплар, сащяляр, вектор фязалар, ассосиатив щалгалар вя ъябрляр, модуллар. Сонралар юйрянмя предмети башга синифляр: гейри-ассосиатив щалгалар вя ъябрляр (о ъцмлядян, Ли cяbrлярi, Жордан cяbрлярi), гяфясляр, йарымгруплар вя б. олду (бах Гruplar нязяриййяси, Щalqalar нязяриййяси, Ли ъябри нязяриййяси, Гяфясляр нязяриййяси). Ъ.-ин щям рийазиййатын юзцндя, щям дя тябият елмляриндя чохлу сайда тятбигляри олан бюлмяси груплар нязяриййясидир. Ъ.-ин рийази мянтигля дя сых ялагяси вардыр (бах Бул ъябри, Моделляр нязяриййяси). Ъ.-ин ъябри ямялиййатлары ялавя гурулушларла тямин олунмуш чохлугларда юйрянян бюлмяляри дя инкишаф едир. Беляликля, тоположи ъябр, Ли груплар нязяриййяси (йяни щамар чохобразлылар групу), мцхтялиф низамланмыш системляр нязяриййяси йаранды. Cябри яdядlяr нязяриййясиндян мейдана эялян сащяляр нязяриййяси вя коммутатив щалгаларын юйрянилмяси ъябри щяндясянин ясасыны тяшкил едян коммутатив ъября аид- дир. Тополоэийанын тясири алтында Ъ.-ин йени бюлмяси – щомоложи ъябр мейдана чыхды ки, бу да юз нювбясиндя йалныз Ъ.-дя дейил, практики олараг рийазиййатын бцтцн сащяляриндя анлайышларын тясвири цчцн йени универсал дил йарадан категорийалар нязяриййясинин йаранмасына сябяб олду. Ъ.-ин рийазиййатын дахилиндяки фундаментал ролу иля йанашы, бюйцк тятбиги ящямиййяти дя вардыр: о, физикада (механикада симплектик формалар, квант нязяриййясиндя Ли групунун тясвири, сащя нязяриййясиндя Ли супер ъябри, kriсtalloqrafiyada Фйодоров груплары), дискрет рийазиййатда (автоматлар нязяриййяси, код- лашдырманын ъябри нязяриййяси), рийази игтисадиййатда (хятти бярабярсизликляр) вя с. тятбиг олунур.