ЪЯБРИ ЩЯНДЯСЯ – рийазиййатын ъябри тянликлярин щялли иля ялагядар олан щяндяси обйектляри юйрянян бюлмяси. Ъябри чохобразлылар (ъябри яйриляр, ъябри сятщляр, ъябри груплар) вя онларын цмумиляшмяляри (схемляр, ъябри сятщляр) беля обйектлярдяндир. Ъ.щ.-дя ики ъцр иникаслара: чохщядлилярля верилян регулйар (морфизмляр) вя расионал функсийаларла верилян расионал иникаслара бахылыр. Тярси олан регулйар иникас бирегулйар иникас вя йа изоморфизм, тярси олан расионал иникас ися бирасионал изоморфизм адланыр. Ъ.щ.-нин ясас мясяляси изоморфизм вя йа бирасионал еквивалентлик дягиглийи иля обйектлярин тяснифатыдыр. Тяснифат кичик юлчцлярдян башлайыр (бах Ъябри яйри, Ъябри сятщ). Мцасир Ъ.щ.-дя онун диэяр рийази фянлярля: коммутатив ъябр, щомоложи ъябр, груплар нязяриййяси, ядядляр нязяриййяси, тополоэийа, диференсиал щяндяся, комплекс анализ, диференсиал тянликляр, рийази физика, кодлашдырманын ъябри нязяриййяси иля гаршылыглы ялагяси ясас мараг доьурур. Ъ.щ.-дя ики груп арашдырма цсулу айрылыр: коммутатив ъябр вя пройектив щяндясядян истифадя етмякля ъябри-щяндяси вя комплекс анализ вя тополоэийадан истифадя етмякля транссендент цсул. Ъ.щ.-нин йаранмасы 17 ясря, щяндяси фигурлары уйьун ъябри тянликлярин щялляри топ- лусу кими ифадя етмяйя имкан верян координат системинин щяндясяйя дахил едилмяси дюврцня тясадцф едир. Илк обйектляр аналитик щяндясядя юйрянилян 2-ъи тяртиб яйриляр вя сятщляр олмушдур. Пройектив щяндясянин инкишафы иля айдын олмушдур ки, яйри вя сятщлярин пройектив тяснифаты даща тябии вя тядгигедиляндир. Ъябри тянликлярин щялляринин щяндяси фигурларла ифадяси заманы мейдана чыхан щяндяси дуйум йени мясялялярин гойулушунда вя нятиъялярин габагъадан дейилмясиндя бюйцк рол ойнамышдыр. Щяндяси цсулларын яйанилийи дя файдалы олур, мяс., бирасионал нязяриййядя пройектляшдирмя цсулундан истифадяетмя. Хцсуси синиф ъябри яйрилярин вя сятщлярин юйрянилмяси 19 ясря гядяр, ясасян пройектив щяндясядя давам етдирилир. Ъ.щ.-нин инкишафында принсипиал дяйишиклик 18 ясрин ахыры, 19 ясрин яввялиндя еллиптик яйрилярин, даща дягиг десяк, еллиптик интегралларын комплекс анализин васитяляри иля юйрянилмяси иля ялагядар баш вермишдир.
∫Р(х, й)дх (1) шяклиндя интеграллар юйрянилмишдир, бурада Р(х,й) расионал функсийа, х вя й ися бир- бири иля Ф(х, й)=0 (2) ъябри тянлийи иля ялагялидир.
(2) тянлийи мцстяви афин ъябри яйрисини ифадя едир. Яэяр бу яйри расионалдырса, йяни х=φ(т), й=ψ(т) расионал функсийалары иля параметрляшдириля билирся, онда дяйи- шянляри явязетмя йолу иля (1) интегралы расионал функсийадан асылы интеграла эятирилир вя сонлу шякилдя щесабланыр. Лакин еллиптик яйриляр цчцн (хцсусян йцксяк нювлц ъябри яйриляр цчцн) беля интеграллар йухары лимит функсийасы кими чохгиймятли олур (бах Абел интегралы). Бу интегралларын юйрянилмяси ъябри яйриляр нязяриййясинин ясасыны гоймушдур. Н. Абел вя К. Йакоби тяряфиндян гурулан Йакоби чохобразлылары адланан чохобразлыларла Ъ.щ.-нин даща чох юйрянилян чохюлчцлц обйектляринин – Абел чохобразлыларынын цмуми нязяриййяси башланыр. Топлама ямялиййатынын тяйин олундуьу нюгтяляр цчцн пройектив чохоб- разлылар беля адланыр. Онлар щамысы Ъ мейданы цзяриндя комплекс торлардыр. Бирюлчцлц Абел чохобразлысы еллиптик яйридир. Ихтийари мейданлар цзяриндя ъябри яйрилярин Йакоби чохобразлылары нязяриййяси 1940 иллярдя А. Вейлин ишляриндя инкишаф етдирилмишдир. Ъ.щ.-нин инкишафында ящямиййятли ирялиляйиш Б. Риманын ишляри иля баьлыдыр. О, инди Риман сятщи (ейни заманда бирюлчцлц комплекс чохобразлы) адланан сятщ анлайышыны дахил етмишдир. Ъ мейданы цзяриндя э нювлц гейри-мяхсуси пройектив Х яйрисинин Риман сятщи э голлары олан истигамятляндирилмиш компакт сятщдир. Беля сятщлярин пройектив фязалара иникасы цчцн гцтбляринин
гатлылыьы дивизорларла мящдудланан мероморф функсийаларын хятти фязаларындан истифадя едилир.
Д=∑нПП
дивизору там {нП} ямсаллы {П} нюгтяляринин сонлу хятти формал комбинасийасыдыр. Полйусларын гатлылыьы П нюгтяляриндя нП ядядляри иля мящдудланан Л{Д} мероморф функсийалар фязасы сонлу юlчцlцdцrlяr. Онларын л(Д) юлчцсц цчцн Риман л(Д) ≥ деэД+1– э бярабярсизлийини алмышдыр. Бурада деэД=∑н . Д дивизорунун дяряъяси, э ися Х яйрисинин (Риман сятщинин) нювцдцр. Алман рийазиййатчысы Е. Рох исбат етмишдир ки, л(Д) – л(К – Д)=деэД+1– э бурада К каноник дивизор, йяни истянилян ф(з)дз диференсиалынын сыфыр вя полйусларынын (гцтбляринин) дивизорудур, ф(з) Х-дя мероморф функсийадыр (Риман–Рох теореми). Сонралар бу теорем истянилян юлчцлц ъябри чохобразлылара яввялъя алман рийа зиййатчысы Ф. Хиртсебрух тяряфиндян, сонра ися даща цмуми формада франсыз рийазиййатчысы А. Гротендик тяряфиндян цмумиляшдирилмишдир. Риман–Рох теореми Ъ.щ.- дя ян мцщцм техники вясаитлярдян биридир. Ъябри чохобразлыларын аналитик нязяриййясинин инкишафына ящямиййятли тющвяни К. Вейерштрасс, А. Пуанкаре, С. Лефшетс, А. Картан, Ж. Лере вермишляр. 1870-ъи иллярдя алман рийазиййатчылары А. Клебша вя М. Нютерин ишляриндян башлайараг аналитик нязяриййя иля йанашы, ъябри-щяндяси нязяриййя дя инкишаф едирди. Яэяр Абел вя Ри- манда ясас обйект функсийа идися, Клебша вя Нютердя ясас обйект яйринин юзцдцр. Ъябри яйрилярин юйрянилмясинин цмуми програмы йарадылды. Ъябри-щяндяси нязяриййядя ъябри яйрилярин юйрянилмяси заманы бирасионал чевирмяляря нязярян инвариант нятиъяляр бюйцк мараг доьурур. Юлчцсц 1-дян бюйцк олан ъябри чохобразлыларын юйрянилмяси 19-ъу ясрин 2-ъи йарысындан 3-ъц тяртиб сятщлярдян башланмышдыр. 19 яср вя 20 ясрин яввялляриндя ъябри сятщлярин бирасионал нязяриййясинин инкишафы Ъ.щ.-нин Италийа мяктяби иля ялагядардыр (Г. Кастелников, Ф. Енриквес, Г. Фано, вя Ф. Севери). Ъябри сятщлярин бирасионал тяснифаты практики олараг 1920-ъи иллярдя йериня йетирилмишдир. Ъ.щ.-нин Италийа мяктябиндя щяндяси цсуллар цстцнлцк тяшкил етмишдир. 20 ясрин биринъи йарысында
Б.Л. Ван дер Варден, А. Вейл вя О. Зариски тяряфиндян Ъ.щ.-нин ясасыны мющкямляндирмяк мягсядиля мцъярряд ъябрин аксиоматик цсулларындан истифадя етмякля Ъ.щ.-нин ъябрляшдирилмяси цчцн тяшяббцс эюстярилмишдир. Ъ.щ.-нин тятбиг областы ихтийари мейданлар цзяриндя ъябри чохобразлынын юйрянилмяси истигамятиндя эенишлянмишдир. Илк дяфя щесаб типли Ъ.щ.-йя мараг А. Пуанкаренин мцгайися нязяриййясиня сонлу сащяляр цзря ъябри тянликляр нязяриййяси кими бахмаг идейасы иля ялагядар ортайа чыхмышдыр. 1920-ъи иллярин башланьыъында алман рийазиййатчысы Е. Артин ъябри ядядляр нязяриййясиня паралел олараг сонлу сабит мейданлы бир дяйишяндян асылы ъябри функсийалар нязяриййясини инкишаф етдирмиш, о ъцмлядян сонлу мейдан цзяриндя ъябри яйрилярин дзета-функсийасыны тяйин етмишдир. Беля дзета-функсийалар цчцн Риман фярзиййясинин аналогу сонлу мейдан цзяриндя яйри цзяриндяки нюгтяляр сайы цчцн щяр щансы гиймятляндирмя иля ейниэцълцдцр. Риман фярзиййясинин аналогу еллиптик яйриляр цчцн 1930-ъу иллярдя алман рийазиййатчысы Х. Хассе вя истянилян нюв яйриляр цчцн бир гядяр сонра Вейл тяряфиндян исбат едилмишдир. Бунунла ялагядар Вейл ихтийари мейданлар цзяриндя Ъ.щ.-нин гурулмасына башлайараг мцъярряд Ъ.щ.-нин ясасыны гоймушдур. Франсыз рийазиййатчысы Ж.П. Серр 1950-ъи иллярдя Ъ.щ.-йя дястяляр нязяриййясини тятбиг етмяйя башламышдыр. 1960-ъы иллярдя Ъ.щ.-йя ъябри чохобразлылары цмумиляшдирян схемляр анлайышы дахил едилмишдир. Схемляр нязяриййяси иля бирликдя Ъ.щ.-йя функтор вя категорийалар дили дахил олду. Йени дил Ъ.щ.-нин имканларыны эенишляндирди вя транссендент цсулларла алынан чохлу сайда классик конструксийалары коммутатив ъября вя щесаба сярбяст кючцрмяйя имкан йаратды. Схемляр нязяриййясинин билаваситя тясири бир сыра классик проблемлярин щяллиня кюмяк эюстярди. Ъ.щ.-дя мцщцм нятиъяляр 1964 илдя америка рийазиййатчысы Х. Хиронак (щяр бир чохобразлы сыфыр характеристикалы мейдан цзяриндя гейри-мяхсуси чохобразлыйа бирасионал изаморфдур), Гротендик вя Белчика рийазиййатчысы П. Делин тяряфиндян (истянилян юлчцлц чохобразлы цчцн Риман щипотезинин аналогу) алынмышдыр (1973). Ъябри чохобразлылар щесабында алман рийазиййатчысы Г. Фалтингс (1983) тяряфиндян нювц 1-дян чох олан ъябри яйриляр цчцн расионал нюгтялярин сайынын сонлулуьу щаггында Морделла щипотезинин дцзэцнлцйц вя Е. Уайлз (1993) тяряфиндян Ферманын сонунъу теореми исбат едилмишдир. Ъидди нязяри ясаслар вя мцнасиб формаллыг Ъ.щ.-нин классик проблемляриня йени бахыш йаратмаьа имкан верди. Лакин бязи проблемляр, мяс., ъябри силсиляляр щаггында Ходъа щипотезляринин исбаты вя йа тякзиб едилмяси, йахуд юлчцсц 4 вя ондан бюйцк олан щамар кубик щиперсятщляр цчцн расионаллыг проблеми щяля дя юз щяллини тапмамышдыр. Ъ.щ. ядядляр нязяриййясиндя, груплар нязяриййясиндя, диференсиал тянликляр нязяриййясиндя, функсионал анализдя, нязяри физикада вя кодлашдырма нязяриййясиндя тятбиг олунур.
