CЯBRИ TЯNLИK – F(x1, ..., xm)=0 (1) шяklindя olan tяnlик, burada F m мяъщул dяyiшяndяn asыlы чoxhяdlidir. Fяrz edilir ki, чoxhяdlinin яmsallarы, qeyd olunmuш яsas K мейданына aiddir. C.t.-in hяlli мяъщулларын K мейданындан (vя ya onun geniшlяnmяsindяn) gюtцrцlяn elя x* , ..., x* qiymяtlяr kцllиyйatыna 1 m deyilir ki, onlarы F чoxhяdlisindя yerinя qoyduqda onu sыfыra чevirir. C.t. nяzяriyyяsinin яsas mяsяlяsi verilmiш C.t.-in hяllinin varlыq шяrtinin tapыlmasы vя bцtцn hяllяr чoxluьunun tяsviridir. Birmяchullu C.t. F(x)=a0xн+a1xn–1+...+an=0 (1) шяklindя olur. Fяrz edilir ki, n>0 vя a0≠0. n яdяdi tяnliyin dяrяcяsi, a0, a1,..., an яdяdlяri ися onun яmsallarыdыr. х мяъщулунун tяnliyin hяllяри olan qiymяtlяri, тянлийин вя elяcя dя F(x) чoxhяdlisinin kюklяri адланыр. Яgяr α (1) tяnliyinin kюkцdцrsя, onda F(x) чoxhяdlisi (x – α)-ya qalыqsыz bюlцnцr (Bezu teoremi). Яgяr F(x) чoxhяdlisi (x– α)k-ya bюlцnцrsя vя (x– α) k+1-я bюlцnmцrsя, onda яsas K мейданынын (vя ya onun geniшlяnmяsinin) α elementi C.t.-in k-qat kюkц adlanыr. Qatlылыьы bir olan kюklяr tяnliyin sadя kюklяri дя adlanыr. Яmsallarы K мейданындан olan hяr bir n dяrяcяli чoxhяdlinin K-da olan kюklяrinin sayы onlarыn qatlыlыьы nяzяrя alыnmaqla n-dяn чox deyil. Яgяr K мейданы cяbri qapalыdыrsa, onda hяr bir belя чoxhяdli kюklяrin qatлыlыьы nяzяrя alыnmaqla n kюkя malikdir. Xцsusi halda, bu, C kompleks яdяdlяr мейданы цчцn doьrudur (cяbrin яsas teoremi). Bezu teoremindяn чыxыr ki, Ф(х)-и F(x)=a0 (x– α1)...(x – αn) шяклиндя эюстярмяк олар, burada, α1, ..., αn тяnliyin кюкляridir. Tяnliyin kюklяri vя яmsallarы Viyet dцsturlarы ilя ялагялидир.
(–1)n a0α1…αn =an , (–1)n–1 a0(α1α2...αn–1 +α1...αn–2αn++α2α3...αn)=an–1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(–1)a0(α1+α2+...+αn)=a1 .
n ≤ 4 dяrяcяli щяr bir tяnlik radikallarda hяll olunur. Bu o demяkdir ki, tяnliyin kюklяri цчцn onlarы tяnliyin яmsallarы vasitяsilя ifadя edяn vя yalnыz toplama, чыxma, vurma, bюlmя vя kюkalmadan istifadя edilяn aшkar dцstуrlar vardыr. n=2 olduqda (kvadrat tяnlik halыnda) dцsturlar aшaьыdakы шяkildя олуr: Иkinci vя цчцncц dяrяcяli tяnliklяrin xцsusi шяkилляриня gяtirilяn mяsяlяlяrin hяllinя Qяdim Бабилистанын mixi mяtnlяrindя rast gяlinir. Kvadrat tяnliklяrin hяlli nяzяriyyяsinin илк шяrhi 3 яsrdя Diofantыn “Hesab”ыnda verilmiшdir. 3-cц vя 4-cц dяrяcяli tяnliklяrin radikallarla hяlli цmumi шяkildя 16 яsrdя Иtaliya riyaziyyatчыlarы C. Kardano vя L. Ferrari тяряфиндян alынmышдыр. Dяrяcяsi 4-dяn yuxarы olan tяnliklяrin цmumi hяllinin radikallarla tapыlmasыna тяхминян 300 il cяhd edilди. 1826 ildя Н. Abel isbat etdi ki, bu mцmkцn deyil (lakin dяrяcяsi n>4 olan konkret tяnliklяr цчцn belя dцsturlarыn olmasыnыn mцmkцnlцyц inkar edilmir). C.t.-in hansы шяrtlяr daxilindя radikallarla hяllinin mцmkцnlцyц щаггында мясялянин tam hяllini E. Qalуa tapмышdыр (1830). Tяnliklяrin radikallarla hяll олмасы mяsяlяsi pяrgar vя xяtkeш vasitяsilя hяndяsi qurmalarla, о ъцмлядян чevrяnin n bяrabяr hissяyя bюlцnmяsi, kubun ikiгат артмасынын qeyri-mцmkцnlцyцnцn isbatы, bucaьыn триseksiyasы vя dairяnin kvadraturasы ilя sыx яlaqяdardыr. Tяnliyin яmsallarыnыn vя kюklяrinin яdяdlяr (Z tam яdяdlяr, Q rasional яdяdlяr, R hяqiqi яdяdlяr vя ya C kompleks яdяdlяr мейданындан) olmasы чох мцщцмдцr. Бу заман чox vaxt bu мейданларыn xцsusi xassяlяrindяn istifadя edirlяr (mяs., onlarda topologiyanыn vя nizamlanmanыn olmasыndan). Bu halda, xцsusi funksiyalardan istifadя edяrяk, dяrяcяsi 4-dяn yuxarы olan tяnliklяrin hяlli цчцn aшkar dцsturlar almaq olar. Яmsallarы R vя C-dяn olan tяnliklяrin kюklяrinin практик олараг tapыlmasы цчцn tяqribi цsullardan istifadя edirlяr. Hяqiqi яmsallы tяnliklяrin hяqiqi kюklяrinin sayыnыn yuxarыdan qiymяtlяndirilmяsi цчцn Dekart teoremindяn istifadя etmяk olar: qatlылыьы nяzяrя alыnmaqla mцsbяt kюklяrin sayы tяnliyin sыfыrdan fяrqli яmsallarы ardыcыllыьыnda dяyiшяn iшarяlilяrin sayыna
bяrabяr vя ya ondan cцt яdяd qяdяr azdыr. Kюklяr цчцn чoxlu sayda qiymяtlяn- dirmяlяr mюvcuddur. Мяс., C мейданы цzrя |аi |, i=1,..., n кямиййятlяrи
1 + max |аi | / |a0| -nii >0 aшmыr.
Яgяr яmsallar hяqiqidirlяrsя vя a0 ≥ a1 ≥... ≥an ≥0-dыrsa, onda tяnliyin bцtцn kюklяri kompleks mцstяvidя vahid dairяdя yerlяшir. Mexaniki sistemlяrin dайаныглыьынын юyrяnilmяsi ilя яlaqяdar беля бир суал ортайа чыхыр ки, verilmiш F(x) чoxobrazlыsыnыn bцtцn kюklяri ня заман mяnfi hяqiqi hissяyя malik olур
[Raуs–Qurvитс (Hurwitz) мясялясi]. Belя Ф чoxhяdlilяriни dайаныглы чoxhяdlilяr adlandыrыrlar. Дайаныглы чoxhяdlilяr haqqыndakы яsas nяticяlяr Ш. Ermitя, ingilis alimi E. Raуsa, alman riyaziyyatчыlarы A. Qurviтся, И. Шura aiddir. Bir neчя mяchullu C.t. sistemi cяbri hяndяsяdя юyrяnilir. Q мейданы kimi qa- palы olmayan мейданлар цзяриндя C.t.-in юyrяnilmяsi Diofant tяnliklяr nяzяriyyяsinin ayrыca bюlmяsinя hяvalя edilir.
F1(x1, ..., xm)=0,
----------------------
F (x , ..., x)=0 k 1 m
шяklindя olan tяnliklяr sistemi C.t.-lяr sistemi adlanыr. 1 дяrяcялi тянликляр системи (xяtti tяnliklяr) xяtti cяbrdя юyrяnilir. C.t. sisteminin hяllяrinin sayы haqqыnda ян sadя nяticя k+1 dяyiшяndяn asыlы k сайда bircins tяnliйин олдуьу щала aiddir.
1, ..., x* hяllяri λx, ..., λx
Bцtцn x*k+1 1 k+1
hяllяri sinfinя бирляшир, бурада λ≠0 K мейданына daxildir. Onda sistemin sыfыrdan fяrqli hяllяrinin sayы onlarыn qatlыlыьы nяzяrя alыnmaqla цmumi halda F1, ..., Fk чoxhяdlilяrinин dяrяcяlяrinin hasilinя bяrabяrdir. Цmumilik шяrti ondan ibarяtdir ki, F1, ..., Fk чoxhяdlilяrinin яmsallarы A afin fяzasыnda яmsallarыn A-ya nisbяtяn ciddi kiчik юlчцyя malik olan hяr hansы cяbri чoxobrazlыsыna daxil deyilдир (Bezu teoremi). Qeyri-bircins cяbri tяnliklяr sisteminя baxыldыqda onlarыn hяllяrinin sayыnыn tapыlmasы цчцn гцввятдян daha зяиф олан инvariantlardan, йяни Nyuton чoxцzlцlяrindяn istifadя etmяk zяruridir. Яgяr
F(x , ..., x )=∑а хi i 1 n и 1…х n,
1 n burada, i=(i1, ..., in)∈Zn, onda Rn fяzasыnda, ai≠0 шяrtini юdяyяn i nюqtяlяrinin qabarыq юртцйц F чoxhяdlisinin Nyuton чoxцзлцсц adlanыr. Cяbri tяnliklяr sisteminin hяllяrinin sayы F1,..., Fk чoxhяdlilяrinin Nyuton чoxцzlцlяri vasitяsilя ifadя olunur.
