ЪЯБРИ ТОПОЛОЭИЙА – рийазиййатын щяндяси фигурларын (эениш мянада–кясилмязликдян данышмаг мцмкцн олан истянилян обйектлярин) вя онларын бир-бириня иникасларынын кясилмяз деформасийаларда (щомотопийаларда) дяйишмяйян хассялярини юйрянян бюлмяси. Ъ.т.-нын ясас мягсяди беля хассялярин щамысыны ашкарламагдыр. “Ъ.т.” адынын юзц бу сащядяки мясялялярин щялли заманы ъябри анлайыш вя цсулларын тяйинедиъи ролундан иряли эялир. Хассяляри Ъ.т.-да юйрянилян ян фундаментал обйектлярин синифляри: комплексляр (чохцзлцляр, полуедрляр) – симплисиал, гяфясли вя б.; чох- образлылар – гапалы вя ачыг, юз нювбясиндя, щамар (диференсиалланан), аналитик, комплекс-аналитик, щисся-щисся хятти вя нящайят, тамам кясилмязлийя (тоположийя) айрылан сярщядли; чяп щасилляр (тябягялянмя) вя онларын кясикляри. Ъ.т.-да бахылан иникасларын ясас типляри – ихтийари кясилмяз, щисся-щисся хятти вя щамар иникаслар вя йа онларын алт синифляри: щомеоморфизмляр, о ъцмлядян кясилмяз, щисся-щисся хятти вя йа щамар щомеоморфизмляр (диффеоморфизмляр); бир обйектин башгасына дахил едилмяси, еляъя дя йцклямя (локал дахилолмалар, иммерсийалар). Деформасийа анлайышы Ъ.т.-нын ян мцщцм анлайышларындандыр. Бир обйектин башгасына (щяр щансы бир синифдян олан) иникасы деформасийайа уьрайыр. Щомотопийа вя йа кясилмяз (щамар, щисся-щисся хятти) иникасын ихтийари кясилмяз (щамар, щисся-щисся хятти) деформасийасы деформасийанын ясас нювляриндяндир. Изотопийа (кясилмяз, щамар, щисся-щисся хятти), йяни щомеоморфизмин, дахилолманын вя йа йцклямянин деформасийасы, деформасийа просесиндя заманын щяр анында щомеоморфизм, дахилолма вя йа йцклямя олараг галыр. Ъ.т.-нын ясас дахили проблемляри чохобразлыларын щомеоморфизмляря нязярян тяснифаты (кясилмяз, щамар, щисся-щисся хятти), дахилолмаларын (йцклямялярин) изотопийалара (регулйар щомотопийалара) нязярян тяснифаты, щомотопийалара нязярян цмуми кясилмяз иникасларын тяснифаты проблемляридир. Бу мясялялярин щяллиндя комплекслярин вя чохобразлыларын щомотопик нюв вя йа щомотопик еквивалентлийя нязярян тяснифаты мцщцм рол ойнайыр. Цчюлчцлц щяндяси фигурлар арасында олан кобуд тоположи фярглярин (мцхтялифлийин) садялювщ баша дцшцлмяси щяля гядим дюврлярдян мювъуд иди. Айдындыр ки, яэяр цчюлчцлц областда (фигурда) областы кясмядян яйсяк вя юзцнц юзц иля кяссяк, дялик вя голларын сайы дяйишмяз. Эями кяндирляриндян дцзялдилмиш дцйцнлярин мцряккяблийи гядим йунанларын диггятини ъялб етмишди. Лакин дягиг рийази мцнасибятляр вя теоремляр шяклиндя биринъи тоположи мцшащидяляр йалныз 18 ясрдя Д. Ейлеря мяхсусдур: габарыг чохцзлцнцн тяпяляринин сайы минус тилляринин сайы плйус цзляринин сайы 2-йя бярабярдир; сонралар А. Пуанкаре эюстярмишдир ки, охшар алтернатив ъям истянилян комплексин тоположи инвариантыдыр. 19 ясрин 2 рцбцндя вязиййят дяйишди: К. Гаусс М. Фарадейин електромагнит щадисяляри иля ялагядар олан тяърцбяляринин анализиндян сонра бир сыра гейри-тривиал тоположи мцшащидяляря эялди. Хцсусиля, о, кясишмяйян деформасийаларда дяйишмяйян цчюлчцлц фязада кясишмяйян ики гапалы яйринин илишмя ядядини тапды. Охшар хассялярин дягиг нязяриййясинин гурулмасы мясялясини дя мящз Гаусс гоймушдур. “Тополоэийа” термини онун шаэирди И. Листингин ишляриндя мейдана эялмишдир. Икиюлчцлц чохобразлыларын тоположи нязяриййясини Б. Риман ясаслы шякилдя инкишаф етдирмишдир (Риман сятщляри). Цмумиййятля, икиюлчцлц тополоэийа, яслиндя, о вахт йени сайылан О. Кошинин ясярляриндяки мцстяви цзяриндя комплекс анализин вя Н. Абел, К. Йакоби вя Риманын ясярляриндяки гейри-тривиал тополоэийалы икиюлчцлц чохобразлыларын ян мцщцм щиссяси кими мейдана чыхмышдыр. Бир сыра тоположи мцшащидяляр физикляр тяряфиндян едилмишдир: У. Томсон дцйцнлярля марагланмышдыр. О, онлар тяряфиндян щидродинамикада кяшф едилян гапалы бурульанлы хятлярин мараглы хассяляриня ясасланмыш вя атомларын тяснифаты цчцн дцйцнляри тятбиг етмяк истямишдир (бу, йанлыш фикир иди). Онун шаэирди П. Тейт дцйцнляр нязяриййясини илк дяфя ардыъыл сурятдя инкишаф етдирмяйя башламыш, онун 19 ясрин ахырында сюйлядийи мараглы фярзиййяляр бу йахынларда исбат олунмушдур. Ъ. Максвелл мцхтялиф индексли функсийаларын бющран нюгтяляринин сайы арасындакы мцнасибятя диггят йетирмишдир: изоля едилмиш ада цчцн чухурларын сайы чыхылсын ашырымларын сайы цстя эял тяпялярин сайы 1-я бярабярдир. А. Пуанкаре тополоэийаны “Ситус тящлил” ады алтында рийазиййатын айрыъа бир областы кими дахил етмишдир. Ян садя вя фундаментал тоположи характеристикаларын ичярисиндя дялик вя голларын цмумиляшдирилмиш сайы ашкар едилир: бу, к нюмряли Бетти ядядляридир (арашдырылан фязада, областда вя йа чохобразлыда мцяййян мянада асылы олмайан к-юлчцлц дюврлярин сайы). Бу ха- рактеристикалар вя онларын сонракы цмумиляшмяляри щомолоэийалар адыны алмышдыр. Пуанкаре икиюлчцлц чохобразлыларын тоположи тяснифатыны вермишдир. О, чох мцщцм тоположи инвариант – башланьыъы вя сону бир цмуми нюгтядя олан гапалы йолларын щомотопик синифляриндян ибарят олан фязаларын фундаментал групуну елмя дахил етмиш вя юртцклярин тоположи нязяриййясини гурмушдур. Онун тяряфиндян Пуанкаренин икилик гануну адланан ганун кяшф едилмишдир. Бу гануна эюря гапалы н- юлчцлц чохобразлылар цчцн мцяййян нюв к вя н–к типли Бетти ядядляри цст-цстя дцшцр. Цчюлчцлц чохобразлыларын тяснифаты проблеми бюйцк чятинликлярля цзляшир: щяр бир биррабитяли цчюлчцлц чохобразлынын (бурада фундаментал груп йеэанядир) сферайа щомеоморфлуьу сон заманлара гядяр исбат едилмямишдир. Бу, Пуанкаре щипотезидир. 20 ясрин яввялляриндя рийазиййатын бу областы тополоэийа адыны дашыйырды. 1930- ъу иллярдя ъябри цсуллар щялледиъи рол ойнадыьы заман щямин област С. Лефшетсин сайясиндя Ъ.т. адландырылмышдыр. Тополоэийа иля эятирилмиш фикир зянэинлийи бу областы 20 ясрин орталарындан башлайараг дцнйа рийазиййатынын мяркязиня гойду. Мяс., габагъыл сайылан вя йашы 40- ы ашмайан фяал рийазиййатчылара 1950 илдян 2002 иля гядяр Бейнялхалг рийазиййат конгресляриндя 44 Филдс медалы тягдим олунмушдур. Рийази наилиййятлярин ясас щиссяси щямин иллярдя тополоэийайа аид олан Ж.П. Серр (1954), Р. Том (1958), Ъ. Милнор (1962), М. Атйа (1966), С. Смейл (1966), С.П. Новиков (1970), Д. Куиллен (1978), У. Тюрстон (1982), С. Доналдсон (1986), М. Фридман (1986), Е. Виттен (1990), У. Ъонс (1990), М. Контсевич (1998), еляъя дя тополоэийа, ъябри щяндяся вя щомоложи ъябр идейаларынын говушуьунда ишлямиш К. Кодайра (1950), А. Гротендик (1966), Д. Мамфорд (1974), П. Делин (1978), Йау Шинтан (1982), В. Воеводски (2002) онларын арасындадыр. 1954 илдян 1970 иля гядяр Филдс медалларынын тяхминян йарысы рийазиййатын бир чох башга сащяляриня тясир эюстярян топологлара тягдим олунмушдур.